Absolutbelopp tentaproblem (Matematik/Universitet)

En sorts kommentar gäller när du skriver "x < -1 eller x < 1". Vad menar du med det?

Laguna skrev:
En sorts kommentar gäller när du skriver "x < -1 eller x < 1". Vad menar du med det?

Det är för att |x^2-1| = (x^2-1) om x>=+-1 eller -(x^2-1) om x<-+1

Kanske det, men förklara "x < -1 eller x < 1". Det står inte > där.

Laguna skrev:
Kanske det, men förklara "x < -1 eller x < 1". Det står inte > där.

Jag tänkte att x måste vara antingen större än eller lika med 1 eller mindre än eller lika med -1 vid första fallet x^2-1.

destiny99 skrev:

Jag tänkte att x måste vara antingen större än eller lika med 1 eller mindre än eller lika med -1 vid första fallet x^2-1.

Du har rätt I att om $x\geq1$ eller $x\leq-1$ så är $x^2\geq1$ och då är. $x^2-1\geq0$

Men det du har skrivit är

vilket är något helt annat.

Det är en förklaring till poängavdrag.

Ytterligare en förklaring är.ditt "Fall 3" som inte behövs om du har korrekt formulering på Fall 1.

Men jag tror att det är bättre att du istället delar in definitionsmängden i de tre icke överlappande intervall, nämligen:

Intervall 1: $x<-1$
Intervall 2: $-1\leq x\leq1$
Intervall 3: $x>1$

Och att du för vart och ett av dessa tre Intervall tydligt skriver huruvida uttrycken $x^2-1$ och $x-1$ är negativa eller inte, samt hur uttrycken $|x^2-1|$ och $|x-1|$ då kan skrivas om.

Yngve skrev:
destiny99 skrev:

Jag tänkte att x måste vara antingen större än eller lika med 1 eller mindre än eller lika med -1 vid första fallet x^2-1.

Du har rätt I att om $x\geq1$ eller $x\leq-1$ så är $x^2\geq1$ och då är. $x^2-1\geq0$

Men det du har skrivit är

vilket är något helt annat.

Det är en förklaring till poängavdrag.

Ok makes sense!

Yngve skrev:
Men jag tror att det är bättre att du istället delar in definitionsmängden i de tre icke överlappande intervall, nämligen:

Intervall 1: $x<-1$

Intervall 2: $-1\leq x\leq1$

Intervall 3: $x>1$

Och att du för vart och ett av dessa tre Intervall tydligt skriver huruvida uttrycken $x^2-1$ och $x-1$ är negativa eller inte, samt hur uttrycken $|x^2-1|$ och $|x-1|$ då kan skrivas om.

Dock förstår jag inte intervall 1-3) jag tycker det borde stå x>=1 som fall 1) för |x^2-1| och x>=-1 för fall 2) för |x^2-1|. Hur tänker du gällande dessa intervall?

Yngve skrev:
Ytterligare en förklaring är.ditt "Fall 3" som inte behövs om du har korrekt formulering på Fall 1.

Problemet är att vi har två absolutbelopp att hantera och jag var mitt i en förvirringstillstånd.

destiny99 skrev:

Dock förstår jag inte intervall 1-3) jag tycker det borde stå x>=1 som fall 1) för |x^2-1| och x>=-1 för fall 2) för |x^2-1|. Hur tänker du gällande dessa intervall?

Nej, då överlappar intervallen varandra.

Rita en tallinje.

Markera intervallet $x\geq1$

Markera intervallet $x\geq-1$

Ser du att de då överlappar varandra?

Yngve skrev:
destiny99 skrev:

Dock förstår jag inte intervall 1-3) jag tycker det borde stå x>=1 som fall 1) för |x^2-1| och x>=-1 för fall 2) för |x^2-1|. Hur tänker du gällande dessa intervall?

Nej, då överlappar intervallen varandra.

Rita en tallinje.

Markera intervallet $x\geq1$

Markera intervallet $x\geq-1$

Ser du att de då överlappar varandra?

Menar du att de överlappar såhär? Se bild

Jag menar så här:

Röd färg indikerar intervallet $x\geq-1$
Blå färg indikerar intervallet $x\geq1$

De överlappar där det finns både röd och blå färg.

Yngve skrev:
Jag menar så här:

Röd färg indikerar intervallet $x\geq-1$

Blå färg indikerar intervallet $x\geq1$

De överlappar där det finns både röd och blå färg.

Jaha ok men då förstår jag.

Bra. Är du då med på att de intervall jag föreslog i svar #8 dels täcker in hela definitionsmängden, dels att de inte överlappar varandra?

Yngve skrev:
Bra. Är du då med på att de intervall jag föreslog i svar #8 dels täcker in hela definitionsmängden, dels att de inte överlappar varandra?

Jag ser inte hur de intervall i#8 täcker in hela definitionsmängden och är inte med på det. Jag ser dock att när x<-1 och x>1 så överlappar de inte varandra.

destiny99 skrev:

Jag ser inte hur de intervall i#8 täcker in hela definitionsmängden och är inte med på det. Jag ser dock att när x<-1 och x>1 så överlappar de inte varandra.

Röd färg indikerar intervallet $x<-1$
Gul färg indikerar $-1\leq x\leq1$
Blå färg indikerar $x>1$

Ser du då att dessa tre intervall tillsammans täcker in hela tallinjen, utan överlapp?

Yngve skrev:
destiny99 skrev:

Jag ser inte hur de intervall i#8 täcker in hela definitionsmängden och är inte med på det. Jag ser dock att när x<-1 och x>1 så överlappar de inte varandra.

Röd färg indikerar intervallet $x<-1$

Gul färg indikerar $-1\leq x\leq1$

Blå färg indikerar $x>1$

Ser du då att dessa tre intervall tillsammans täcker in hela tallinjen, utan överlapp?

Ja det gör jag.

OK bra.

Eftersom den intressanta brytpunkten för uttrycket $|x^2-1|$ är $x=\pm1$ och för $|x-1|$ är $x=1$ så är alla dessa intressanta brytpunkter representerdr i de tre intervallens gränser.

Det betyder att uttrycken blir entydiga i de tre intervallen.

Gör nu ett försök att fortsötta med tipset från svar #8.

Yngve skrev:
OK bra.

Eftersom de intressanta brytpunkten för uttrycket $|x^2-1|$ är $x=\pm1 $och för$ |x-1| $är$ x=1$$ så är alla dessa intressanta brytpunkter representerdr i de tre intervallens gränser.

Det betyder att uttrycken blir entydiga i de tre intervallen.

Gör nu ett försök att fortsötta med tipset från svar #8.

Jag förstod inte dessa tips.

Gör som du gjorde i din ursprungslösning, fast med dessa tre intervall istället för de du använde och med några extra steg för tydlighet och minskad risk för tanke/räknefel.

Dvs så här:

Intervall 1: $x<-1$

Här är

$x^2>1$ , vilket betyder att $x^2-1>0$ , vilket betyder att $|x^2-1|=x^2-1$
$x-1<0$ , vilket betyder att $|x-1|=-(x-1)=1-x$

Det betyder att ekvationen i detta intervall lyder $(x^2-1)+(1-x)=x+1$

Och så vidare.

=====

Gör på samma sätt med intervall 2 och intervall 3.

Yngve skrev:
Gör som du gjorde i din ursprungslösning, fast med dessa tre intervall istället för de du använde och med några extra steg för tydlighet och minskad risk för tanke/räknefel.

Dvs så här:

Intervall 1: $x<-1$

Här är

$x^2>1$ , vilket betyder att $x^2-1>0$ , vilket betyder att $|x^2-1|=x^2-1$

$x-1<0$ , vilket betyder att $|x-1|=-(x-1)=1-x$

Det betyder att ekvationen i detta intervall lyder $(x^2-1)+(1-x)=x+1$

Och så vidare.

=====

Gör på samma sätt med intervall 2 och intervall 3.

Hur kan intervall 1 betyda att x^2-1<0 i din första punkt och för andra punkten där x-1<0?

destiny99 skrev:
Hur kan intervall 1 betyda att x^2-1<0 i din första punkt och för andra punkten där x-1<0?

Det skrev jag inte. Jag skrev att x²-1 > 0 och att x-1 < 0 i detta intervall.

Yngve skrev:
destiny99 skrev:
Hur kan intervall 1 betyda att x^2-1<0 i din första punkt och för andra punkten där x-1<0?

Det skrev jag inte. Jag skrev att x²-1 > 0 och att x-1 < 0 i detta intervall.

Precis jag skrev fel sorry. Varför betyder första intervallet dessa två punkter?

destiny99 skrev:

Precis jag skrev fel sorry. Varför betyder första intervallet dessa två punkter?

Jag förstår inte riktigt vad du menar med din fråga, speciellt vad "dessa två punkter" avser.

Kan du försöka formulera om?

Yngve skrev:
destiny99 skrev:

Precis jag skrev fel sorry. Varför betyder första intervallet dessa två punkter?

Jag förstår inte riktigt vad du menar med din frpga, speciellt "dessa två punkter".

Kan du försöka formulera om?

Ja jag förstår inte varför intervallet x<-1 betyder

x^2-1>0
x-1<0

Om x<-1 borde det vara -(x^2-1) och inte x^2-1

Aha, tack då förstår jag.

Punkterna är bara till för att utreda hur absolutbeloppen kan skrivas om i det intervallet.

Är du med på att $x<-1$ innebär att $x^2>1$ ?

Yngve skrev:
Punkterna är bara till för att utreda hur absolutbeloppen kan skrivas om i det intervallet.

Är du med på att $x<-1$ innebär att $x^2>1$ ?

Okej. Nej jag är tyvärr inte med på det.

Vi tar ett exempel.

Talet x = -2 ligger i intervallet x < -1.

Om x = -2 så gäller det att x² = (-2)² = 4, vilket är större än 1.

Är du med på det?

Pröva gärna med några andra tal som är mindre än -1 så ska du se att det gäller generellt.

Yngve skrev:
Vi tar ett exempel.

Talet x = -2 ligger i intervallet x < -1.

Om x = -2 så gäller det att x² = (-2)² = 4, vilket är större än 1.

Är du med på det?

Pröva gärna med några andra tal som är mindre än -1 så ska du se att det gäller generellt.

Ok ja jag håller med

Bra. Är du då även med på att om x < -1 så är

x²-1 > 0?
x - 1 < 0?

Yngve skrev:
Bra. Är du då även med på att om x < -1 så är

x²-1 > 0?

x - 1 < 0?

Ja men intervallet x<-1 kommer väl ifrån |x^2-1|={ x^2-1 , om x>=1 eller x=<-1?

Hur blir det med fallet -(x^2-1)?

|x-1|= {x-1, om x>=1 , -(x-1) om x<1

destiny99 skrev:

Ja men intervallet x<-1 kommer väl ifrån |x^2-1|={ x^2-1 , om x>=1 eller x=<-1?

Det spelar ingen roll "varifrån" intervallet kommer.

En bra metod att bestämma intervallgränser är att titta på alla absolutbelopp som ingår i uttrycket/ekvationen och för vart och ett av dessa göra en lista på alla "brytpunkter", dvs x-värden där uttrycket innanför absolutbeloppen går från att vara negativt till att vara positivt (eller tvärtom).

Du får då en bruttolista på intressanta brytpunkter. Låt dessa x-värden utgöra intervallens gränser.

I den här uppgiften var det x = -1 och x = 1.

Hur blir det med fallet -(x^2-1)?

Om du fortsätter enligt mitt tips så ser du att det uttrycket kommer att dyka upp i intervall 2.

|x-1|= {x-1, om x>=1 , -(x-1) om x<1

Ja, det stämmer. Det förstnämnda uttrycket dyker upp i intervall 3, det sistnämnda i intervall 1 och 2.

======

Tanken är alltså att du i varje intervall ska skriva om hela ekvationen utan absolutbelopptecken. Du får då tre enklare andragradsekvationer att lösa.

Lös dessa och kontrollera att lösningarna hamnar inom det aktuella intervallet.

Alla lösningar som ligger utanför det aktuella intervallet förkastas.

För att illustrera har jag här ritat vänsterledets graf, dvs y = |x²-1|+|x-1|.

Du ser att grafen har olika utseende i de tre intervallen. Du ser även att utseendet ändras vid "brytpunkterna" x = -1 och vid x = 1.

=============

Här har jag även ritat in högerledets graf, dvs y = x+1.

Ekvationens lösningar återfinns vid dessa två grafers skärningspunkter.

Du ser att ekvationen saknar lösning i intervall 1, att det finns en lösning i intervall 2 och en lösning i intervall 3.

Yngve skrev:
destiny99 skrev:

Ja men intervallet x<-1 kommer väl ifrån |x^2-1|={ x^2-1 , om x>=1 eller x=<-1?

Det spelar ingen roll "varifrån" intervallet kommer.

En bra metod att bestämma intervallgränser är att titta på alla absolutbelopp som ingår i uttrycket/ekvationen och för vart och ett av dessa göra en lista på alla "brytpunkter", dvs x-värden där uttrycket innanför absolutbeloppen går från att vara negativt till att vara positivt (eller tvärtom).

Du får då en bruttolista på intressanta brytpunkter. Låt dessa x-värden utgöra intervallens gränser.

I den här uppgiften var det x = -1 och x = 1.

Hur blir det med fallet -(x^2-1)?

Om du fortsätter enligt mitt tips så ser du att det uttrycket kommer att dyka upp i intervall 2.

|x-1|= {x-1, om x>=1 , -(x-1) om x<1

Ja, det stämmer. Det förstnämnda uttrycket dyker upp i intervall 3, det sistnämnda i intervall 1 och 2.

======

Tanken är alltså att du i varje intervall ska skriva om hela ekvationen utan absolutbelopptecken. Du får då tre enklare andragradsekvationer att lösa.

Lös dessa och kontrollera att lösningarna hamnar inom det aktuella intervallet.

Alla lösningar som ligger utanför det aktuella intervallet förkastas.

Så när man får en sådan uppgift så ska man tänka att för vilka x som det sker teckenbyte? Då är det x=-+1 för x^2-1 samt för x=1 för uttrycket x-1. Vi ser att båda uttryck har x=1 som gemensam punkt där båda byter tecken.

Så när man får en sådan uppgift så ska man tänka att för vilka x som det sker teckenbyte? Då är det x=-+1 för x^2-1

Ja. Det delar in talen i tre intervall, som behöver undersökas var för sig.

samt för x=1 för uttrycket x-1. Vi ser att båda uttryck har x=1 som gemensam punkt där båda byter tecken.

Detta är ointressant i det här fallet. Det vi behöver undersöka är värdet för |x²-1| i de tre intervallen.

destiny99 skrev:

Så när man får en sådan uppgift så ska man tänka att för vilka x som det sker teckenbyte? Då är det x=-+1 för x^2-1 samt för x=1 för uttrycket x-1. Vi ser att båda uttryck har x=1 som gemensam punkt där båda byter tecken.

Ja det stämmer. Jag kallar dessa x-värden "brytpunkter".

Då kan vi beskriva detta som en standardmetod:

Identifiera alla "brytpunkter"
Dela med hjälp av dessa in definitionsmängden i icke-överlappande intervall.

För vart och ett av dessa intervall:

Skriv om ekvationen utan absolutbelopptecken.
Lös ekvationen.
Förkasta de lösningar som inte ligger i intervallet.

Kvarvarande lösningar är ursprungsekvationens lösningar.

Glöm inte att kontrollera dessa lösningar i ursprungsekvationen!

Smaragdalena skrev:

Så när man får en sådan uppgift så ska man tänka att för vilka x som det sker teckenbyte? Då är det x=-+1 för x^2-1

Ja. Det delar in talen i tre intervall, som behöver undersökas var för sig.

samt för x=1 för uttrycket x-1. Vi ser att båda uttryck har x=1 som gemensam punkt där båda byter tecken.

Detta är ointressant i det här fallet. Det vi behöver undersöka är värdet för |x²-1| i de tre intervallen.

Jaha okej. Varför är det ointressant?

Yngve skrev:
destiny99 skrev:

Så när man får en sådan uppgift så ska man tänka att för vilka x som det sker teckenbyte? Då är det x=-+1 för x^2-1 samt för x=1 för uttrycket x-1. Vi ser att båda uttryck har x=1 som gemensam punkt där båda byter tecken.

Ja det stämmer. Jag kallar dessa x-värden "brytpunkter".

Då kan vi beskriva detta som en standardmetod:

Identifiera alla "brytpunkter"

Dela med hjälp av dessa in definitionsmängden i icke-överlappande intervall.

För vart och ett av dessa intervall:

Skriv om ekvationen utan absolutbelopptecken.

Lös ekvationen.

Förkasta de lösningar som inte ligger i intervallet.

Kvarvarande lösningar är ursprungsekvationens lösningar.

Glöm inte att kontrollera dessa lösningar i ursprungsekvationen!

Jag är osäker på hur jag ska skriva om ekvationerna för fall 2.

destiny99 skrev:
Smaragdalena skrev:

Så när man får en sådan uppgift så ska man tänka att för vilka x som det sker teckenbyte? Då är det x=-+1 för x^2-1

Ja. Det delar in talen i tre intervall, som behöver undersökas var för sig.

samt för x=1 för uttrycket x-1. Vi ser att båda uttryck har x=1 som gemensam punkt där båda byter tecken.

Detta är ointressant i det här fallet. Det vi behöver undersöka är värdet för |x²-1| i de tre intervallen.

Jaha okej. Varför är det ointressant?

Varför skulle det vara intressant? DEt är teckenväxlingarna för x2-1 som är intressant, för där byts x2-1 till 1-x².

Smaragdalena skrev:
destiny99 skrev:
Smaragdalena skrev:

Så när man får en sådan uppgift så ska man tänka att för vilka x som det sker teckenbyte? Då är det x=-+1 för x^2-1

Ja. Det delar in talen i tre intervall, som behöver undersökas var för sig.

samt för x=1 för uttrycket x-1. Vi ser att båda uttryck har x=1 som gemensam punkt där båda byter tecken.

Detta är ointressant i det här fallet. Det vi behöver undersöka är värdet för |x²-1| i de tre intervallen.

Jaha okej. Varför är det ointressant?

Varför skulle det vara intressant? DEt är teckenväxlingarna för x2-1 som är intressant, för där byts x2-1 till 1-x².

Ja precis men det sker teckenväxling även för |x-1|? Ska man ignorera den bara?

destiny99 skrev:

Jag är osäker på hur jag ska skriva om ekvationerna för fall 2.

Det du har skrivit är rätt, men jag tycker att du tar för stora tankesteg i din lösning, vilket gör det onödigt komplicerat och mer felbenäget.

Gör istället så här:

Intervall 2: $-1\leq x\leq1$

Här gäller att $x^2\leq1$ , vilket ger oss att $x^2-1\leq0$ , vilket ger oss att $|x^2-1|=1-x^2$

Här gäller vidare att $x-1\leq0$ , vilket ger oss att $|x-1|=1-x$

Sammantaget ger detta att ekvationen här kan skrivas

$1-x^2+1-x=x+1$

Och så vidare.

Jag hoppas att du käner att det blir enklare om du tar små små tankesteg i taget och inte behöver hålla så mycket saker i hivudet samtidigt.

Yngve skrev:
destiny99 skrev:

Jag är osäker på hur jag ska skriva om ekvationerna för fall 2.

Det du har skrivit är rätt, men jag tycker att du tar för stora tankesteg i din lösning, vilket gör det onödigt komplicerat och mer felbenäget.

Gör istället så här:

Intervall 2: $-1\leq x\leq1$

Här gäller att $x^2\leq1$ , vilket ger oss att $x^2-1\leq0$ , vilket ger oss att $|x^2-1|=1-x^2$

Här gäller vidare att $x-1\leq0$ , vilket ger oss att $|x-1|=1-x$

Sammantaget ger detta att ekvationen här kan skrivas

$1-x^2+1-x=x+1$

Och så vidare.

Jag hoppas att du käner att det blir enklare om du tar små små tankesteg i taget och inte behöver hålla så mycket saker i hivudet samtidigt.

Problemet är att jag inte kan tänka i naturlig steg som du gör. När jag ser -1<=x<=1 intervallet så tänker jag typ av vana att x^2-1 och för uttrycket (x-1) så blir det x-1 eftersom jag ser att x>=-1 så måste x^2-1 vara positivt är min tanke. Intervallet -1<=x<=1 betyder ju att x ska vara större än -1 eller mindre än eller lika med 1. Intressant att du tittar på just x^2<1 och inte x^2<-1 då vi har -1<=x<=1.

destiny99 skrev:

Problemet är att jag inte kan tänka i naturlig steg som du gör.

Då behöver du nog träna på det. Risken för feltänk är alltför stor annars.

Tips: Rita grafen till y = x².och y = 1 i samma koordinatsystem (röd respektive blå graf).

Då ser du att

Den röda grafen ligger ovanför den blå grafen då x < -1 och då x > 1. Detta betyder att x² > 1 då x < -1 och då x > 1.
Den röda grafen ligger under den blå grafen då -1 < x < 1. Detta betyder att x² < 1 då -1 < x < 1.

När jag ser -1<=x<=1 intervallet så tänker jag typ av vana att x^2-1 och för uttrycket (x-1) så blir det x-1 eftersom jag ser att x>=-1 så måste x^2-1 vara positivt är min tanke.

Som sagt, du behöver träna på att bryta ner det i mindre tankesteg.

Intervallet -1<=x<=1 betyder ju att x ska vara större än -1 eller mindre än eller lika med 1.

Inte "eller", det betyder att x ska vara större än eller lika med -1 och att x samtidigt ska vara mindre än eller lika med 1

Intressant att du tittar på just x^2<1 och inte x^2<-1 då vi har -1<=x<=1.

Jag förstår inte vad du menar.

x² är ett kvadratiskt uttryck. Det antar aldrig negativa värden.

Titta på grafen jag lade in här. Ser du då att $x^2\leq1$ då $-1\leq x\leq1$ ?

Yngve skrev:
destiny99 skrev:

Problemet är att jag inte kan tänka i naturlig steg som du gör.

Då behöver du nog träna på det. Risken för feltänk är alltför stor annars.

Tips: Rita grafen till y = x².och y = 1 i samma koordinatsystem (röd respektive blå graf).

Då ser du att

Den röda grafen ligger ovanför den blå grafen då x < -1 och då x > 1. Detta betyder att x² > 1 då x < -1 och då x > 1.

Den röda grafen ligger under den blå grafen då -1 < x < 1. Detta betyder att x² < 1 då -1 < x < 1.

När jag ser -1<=x<=1 intervallet så tänker jag typ av vana att x^2-1 och för uttrycket (x-1) så blir det x-1 eftersom jag ser att x>=-1 så måste x^2-1 vara positivt är min tanke.

Som sagt, du behöver träna på att bryta ner det i mindre tankesteg.

Intervallet -1<=x<=1 betyder ju att x ska vara större än -1 eller mindre än eller lika med 1.

Inte "eller", det betyder att x ska vara större än eller lika med -1 och att x samtidigt ska vara mindre än eller lika med 1

Intressant att du tittar på just x^2<1 och inte x^2<-1 då vi har -1<=x<=1.

Jag förstår inte vad du menar.

x² är ett kvadratiskt uttryck. Det antar aldrig negativa värden.

Ok jag är ungefär med. Vill du visa hur man bryter ned i mindre tankesteg?

Ok. -1<=x<=1 uttalar man det som att x>=-1 och x<=1.

Jag undrar var y=1 kommer ifrån i grafen? Jag kan se att x^2<1 för brytpunkterna.

destiny99 skrev:
Ok jag är ungefär med. Vill du visa hur man bryter ned i mindre tankesteg?

Det var det jag gjorde i svar #45

Ok. -1<=x<=1 uttalar man det som att x>=-1 och x<=1.

Ja, eller något av följande:

"-1 är mindre än eller lika med x, som är mindre än eller lika med 1"
"x ligger mellan (och inklusive) -1 och 1".
"x ligger i intervallet från -1 till 1"

destiny99 skrev:
Jag undrar var y=1 kommer ifrån i grafen? Jag kan se att x^2<1 för brytpunkterna.

Är du med på följande?

Vi vill veta om och i så fall när uttrycket x²-1 är mindre än 0.
Det kan formuleras som olikheten x²-1 < 0, som vi kan skriva om till x² < 1.
Vi vill alltså veta om och i så fall när x² < 1.
För att förstå när detta inträffar ritar vi vänster- respektive högerledets graf och ser om och i så fall när vänsterledets graf ligger under högerledets graf.

Yngve skrev:
destiny99 skrev:
Jag undrar var y=1 kommer ifrån i grafen? Jag kan se att x^2<1 för brytpunkterna.

Är du med på följande?

Vi vill veta om och i så fall när uttrycket x²-1 är mindre än 0.

Det kan formuleras som olikheten x²-1 < 0, som vi kan skriva om till x² < 1.

Vi vill alltså veta om och i så fall när x² < 1.

För att förstå när detta inträffar ritar vi vänster- respektive högerledets graf och ser om och i så fall när vänsterledets graf ligger under högerledets graf.

Jag är med på 1-3 men inte 4). Varför tittar vi inte på när uttrycket x^2-1>=0? En annan sak som jag inte hänger med på är varför vi skriver om x^2-1 som 1-x^2 då x^2<1 ? Är det för att grafen har en ledsen mun i det intervallet?

destiny99 skrev:

Jag är med på 1-3

Bra.

men inte 4). Varför tittar vi inte på när uttrycket x^2-1>=0?

Det kan vi göra också om vi vill:

Vi har att $x^2-1\geq0$ då $x^2\geq1$

I samma bild som i svar #45 så ser vi att detta inträffar då den röda grafen ligger på eller ovanför den blå grafen, dvs då $x\leq-1$ och då $x\geq1$ .

Detta är precis samma sak som det vi tidigare har konstaterat.

Sammantaget ger detta oss att

$x^2-1<0$ då $-1<>$
$x^2-1=0$ då $x=-1$ och då $x=1$
$x^2-1>0$ då $x<-1$ och då $x>1$

Fråga: Är du med på att det är så?

En annan sak som jag inte hänger med på är varför vi skriver om x^2-1 som 1-x^2 då x^2<1 ?

Det gör vi inte.

Vi skriver om $|x^2-1|$ som $-(x^2-1)$ , dvs som $1-x^2$ , i det intervall där $x^2-1<0$ , dvs i det intevall där $x^2<1$ , dvs i intervallet $-1<>$ .

Är det för att grafen har en ledsen mun i det intervallet?

Nej, det är inte därför.

Istället är det tvärtom: Grafen set ut som en ledsen mun eftersom x²-termen har en negativ koefficient framför sig i detta intervall, vilket beror på att vi har skrivit om uttrycket $|x^2-1|$ som $1-x^2$ här.

Och du ska inte skriva om uttrycken baserat på hur graferna ser ut. Graferna är bara till för förståelse och för att i efterskott kunna rimlighetskontrollera svaret.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Jag är med på 1-3

Bra.

men inte 4). Varför tittar vi inte på när uttrycket x^2-1>=0?

Det kan vi göra också om vi vill:

Vi har att $x^2-1\geq0$ då $x^2\geq1$

I samma bild som i svar #45 så ser vi att detta inträffar då den röda grafen ligger på eller ovanför den blå grafen, dvs då $x\leq-1$ och då $x\geq1$ .

Detta är precis samma sak som det vi tidigare har konstaterat.

Sammantaget ger detta oss att

$x^2-1<0$ då $-1<>$

$x^2-1=0$ då $x=-1$ och då $x=1$

$x^2-1>0$ då $x<-1$ och då $x>1$

Fråga: Är du med på att det är så?

En annan sak som jag inte hänger med på är varför vi skriver om x^2-1 som 1-x^2 då x^2<1 ?

Det gör vi inte.

Vi skriver om $|x^2-1|$ som $-(x^2-1)$ , dvs som $1-x^2$ , i det intervall där $x^2-1<0$ , dvs i det intevall där $x^2<1$ , dvs i intervallet $-1<>$ .

Är det för att grafen har en ledsen mun i det intervallet?

Nej, det är inte därför.

Istället är det tvärtom: Grafen set ut som en ledsen mun eftersom x²-termen har en negativ koefficient framför sig i detta intervall, vilket beror på att vi har skrivit om uttrycket $|x^2-1|$ som $1-x^2$ här.

Och du ska inte skriva om uttrycken baserat på hur graferna ser ut. Graferna är bara till för förståelse och för att i efterskott kunna rimlighetskontrollera svaret.

Aa okej ja jag förstår. Jo jag är med på detta.

Ja, nu stämmer ditt svar.

Men det är ett par saker i lösningen som kan förbättras.

Jag tycker att du bör korrigera olikheterna i intervallbeskrivningarna så att intervallen inte överlappar varandra. Se till att varje x-koordinat endast tillhör ett intervall.

Detta kan göras på olika sätt, t.ex.

$x\leq-1$
$-1<>$
$x>1$

En annan sak är att du bör se till att beskrivningen av uttryck inom respektive intervall är korrekt. Som det är nu stämmer inte detta:

Antingen ska det stå -1 < x < 1 eller så ska det stå (x²-1) $\leq$ 0

Yngve skrev:
Ja, nu stämmer ditt svar.

Men det är ett par saker i lösningen som kan förbättras.

Jag tycker att du bör korrigera olikheterna i intervallbeskrivningarna så att intervallen inte överlappar varandra. Se till att varje x-koordinat endast tillhör ett intervall.

Detta kan göras på olika sätt, t.ex.

$x\leq-1$

$-1<>$

$x>1$

En annan sak är att du bör se till att beskrivningen av uttryck inom respektive intervall är korrekt. Som det är nu stämmer inte detta:

Antingen ska det stå -1 < x < 1 eller så ska det stå (x²-1) $\leq$ 0

Ok tack så mycket! Ska komma ihåg det.