Absolutbelopp polär form

Tänk trigonometriska ettan. 

Vinkeln spelar ingen roll här, så det är inte så jobbigt som det ser ut.

Du kan tänka på flera olika sätt här:

Metod 1. Absolutbeloppet av $z=a+bi$ är $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

I ditt första uttryck är $a=cos(\frac{\pi}{8})$ och $b=cos(\frac{\pi}{8})$, vilket ger dig trigonometriska ettan, vilket är samma sak som Pythagoras sats, vilket är samma sak som avståndsformeln.

I ditt andra uttryck får du först använda Eulers formel $e^{iv}=cos(v)+i\cdot sin(v)$ och sedan göra på samma sätt som ovan.

Metod 2. En variant av metod 1. Absolutbeloppet av ett komplext tal $z$ kan skrivas $|z|=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$, där $\bar{z}$ är komplexkonjugatet till $z$.

För uttryck 1 är detta egentligen samma sak som metod 1, men för uttryck 2 blir denna metod enklare än metod 1.

Metod 3. Ett komplext tal på (trigonometrisk) polär form skrivs $z=r(cos(v)+i\cdot sin(v))$, där $r$ är talets absolutbelopp och $v$ är talets argument.

Ett komplext tal på exponentiell (polär) form skrivs $z=r\cdot e^{iv}$, där $r$ och $v$ är enligt ovan.

Dina båda uttryck är redan skrivna på dessa former. Vad är då absolutbeloppen $r$, dvs vilka faktorer står framför de båda uttrycken?

Den var så pass enkel altså, där ser man. 

Då är jag med, metod 3 & 1 känns ju rätt självklara nu när man får det förklarat för sig, gracias!

poijjan skrev:

Den var så pass enkel altså, där ser man. 

 

Då är jag med, metod 3 & 1 känns ju rätt självklara nu när man får det förklarat för sig, gracias!

Pröva gärna metod 2 på uttryck 2, det blir väldigt snyggt.

Vet du vad ett komplexkonjugat är och hur det skrivs i rektangulär, trigonometrisk  polär och exponentiell polär form?

Bra att notera:

$\cos\phi +i\sin\phi$ alternativt

$e^{i\phi}$ snurrar på enhetscirkeln.

Yngve skrev:

poijjan skrev:

Den var så pass enkel altså, där ser man. 

 

Då är jag med, metod 3 & 1 känns ju rätt självklara nu när man får det förklarat för sig, gracias!

Pröva gärna metod 2 på uttryck 2, det blir väldigt snyggt.

Vet du vad ett komplexkonjugat är och hur det skrivs i rektangulär, trigonometrisk  polär och exponentiell polär form?

Vet vad komplexkonjugat är och hur man skriver det på rektangulär form, och utifrån det tänker jag mig att man ska göra något i stil med; 

?

Precis. Med räkneregler blir det

$\sqrt{e^{i\cdot 0}}=1$. OK?

dr_lund skrev:

Precis. Med räkneregler blir det

$\sqrt{e^{i\cdot 0}}=1$. OK?

Såklart! Missade det :) tack! 

Snyggt va?

Yngve skrev:

Snyggt va?

mkt snyggt =)