Absolutbelopp och talföjlder

Har en uppgift som lyder: "För en föjld ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ gäller $a_{n} \to a d å n \to \infty \Rightarrow |a_{n}| \to |a| d å n \to \infty$ . Gäller även omvändningen? Om ja, visa detta! Om nej, ge ett motexempel. (Tips: Den omvända triangelolikheten kan hjälpa.)"

Jag har ingen aning hur jag ska bevisa detta. Jag har kolllat på triangelolikheten men kan inte direkt klura ut kopplingen och hur den hjälper mig med mitt bevis. Jag har en stark känsla att det omvända INTE gäller, men jag vet inte riktigt hur jag ska visa det och kan inte heller hitta ett bra exempel av en talföljd som stödjer min lilla "teori". Hjälp?

Tack!

Jag vet inte varför man ska göra något avanderat med triangelolikheten när följande räcker:

Generellt när man ska visa något med absolutbelopp är att försöka utnyttja att såväl ett tal x som dess multiplikativa additiva invers -x har samma absolutbelopp

|x| = |-x|

Ett sätt att nyttja detta vore att fundera på om jag kunde börja med någon sekvens $(b_n)_n$ som konvergerar i både $b_n \to b$ -mening och $|b_n| \to |b|$ -mening och fundera på om man kan manipulera $(b_n)_n$ ned hjälp av minustecken på något sätt så att $|b_n| \to |b|$ inte förändras men $b_n \to b$ inte längre håller.

Efter en längre eller kortare fundering så kanske man kommer på att en serie av ettor

$b_n = 1$

kan göras om till en serie av alternerande +1,-1,+1, -1, +1, ...

$b_n = (-1)^n$

Absolutbeloppen är fortfarande alla 1:or och konvergerar därmed men $b_n = (-1)^n$ hoppar fram och tillbaka mellan -1 och 1 och konvergerar därmed inte.

Således har vi ett motexempel till omvändningen.

SeriousCephalopod skrev:
Jag vet inte varför man ska göra något avanderat med triangelolikheten när följande räcker:
Generellt när man ska visa något med absolutbelopp är att försöka utnyttja att såväl ett tal x som dess multiplikativa invers -x har samma absolutbelopp
|x| = |-x|
Ett sätt att nyttja detta vore att fundera på om jag kunde börja med någon sekvens $(b_n)_n$ som konvergerar i både $b_n \to b$ -mening och $|b_n| \to |b|$ -mening och fundera på om man kan manipulera $(b_n)_n$ ned hjälp av minustecken på något sätt så att $|b_n| \to |b|$ inte förändras men $b_n \to b$ inte längre håller.
Efter en längre eller kortare fundering så kanske man kommer på att en serie av ettor
$b_n = 1$
kan göras om till en serie av alternerande +1,-1,+1, -1, +1, ...
$b_n = (-1)^n$
Absolutbeloppen är fortfarande alla 1:or och konvergerar därmed men $b_n = (-1)^n$ hoppar fram och tillbaka mellan -1 och 1 och konvergerar därmed.
Således har vi ett motexempel till omvändningen.

Tack så mycket! Bra förklarat. Förstår inte varför de pekade till triangelolikheten. Detta var ett mycket simplare bevis.

Får jag protestera mot "multiplikativ invers": x och -x är varandras additiva inverser.

Nu när jag läser det igen så tror jag nog att triangelolikheten var tänkt att användas för att bevisa första satsen (inte omvändningen). Medan den inte behövs för omvändingen så behövs den för ursprungsatsen.

Med omvända triangelolikheten applicerat på $(a_n, a)$

$0 \leq ||a| - |a_n|| \leq |a - a_n|$

Om avståndet mellan $a$ och $a_n$ går mot noll när N blir stort så kommer även avståndet mellan $|a|$ och $|a_n|$ att gå mot noll.

Är ett standardbevis så var nog det de menade emn hjälper oavsett inte för omvändningen.

Den omvända triangelolikheten talar bara om för dig att

$\lim_{n\to\infty}|a_n-a| \geq 0$

när du utgår från att $|a_n|$ konvergerar mot $|a|$ . Det enklaste motexemplet är det som SeCe nämnt; $a_n = \pm 1$ beroende på om $n$ är udda eller jämn.

Svara

Visa senaste svar