absolutbelopp komplexa tal

Hej.

Att pröva hypoteser är ett utmärkt sött att försöka lösa uppgifter.

Sätt u = c+di och räkna på.

Vad kommer du då fram till?

fick samma svar

Tillägg: 23 nov 2023 14:31

men vill bara fatta om det en regel att använda sig av k*z

Mattehjalp skrev:

fick samma svar

OK, men du fick väl inte fram att det gäller för godtyckliga c och d?

---

Tillägg: 23 nov 2023 14:31

men vill bara fatta om det en regel att använda sig av k*z

Nej, det finns ingen sån regel.

Vad menar du?

Mattehjalp skrev:

Vad menar du?

Vem? Jag?

I princip har de ju utgått från att man redan vet lösningen. Lite fusk tycker jag.

Man kan vara mer generell.

Om z = 0 så är likheten uppfylld för alla u. Trivialt.

Antag därför att z är skilt från 0.

Vi kan då generellt skriva u som wz. Där w = u/z är ett komplext tal.

${\left|z+wz\right|}^2=\left(z+wz\right)\left(z*+w*z*\right)=zz*+\left(w+w*\right)zz*+ww*zz*={\left|z\right|}^2+2Re\left(w\right){\left|z\right|}^2+{\left|u\right|}^2$ (1).

* betecknar komplexkonjugering. Jag utnyttjar att ${\left|z\right|}^2=zz*$ för alla komplexa tal z.

Vidare så har vi att

${\left(\left|z\right|+\left|u\right|\right)}^2={\left|z\right|}^2+2\left|u\right|\left|z\right|+{\left|u\right|}^2={\left|z\right|}^2+2\left|w\right|{\left|z\right|}^2+{\left|u\right|}^2$ (2).

Om likhet skall gälla mellan (1) och (2) så måste vi ha att

$\left|w\right|=Re\left(w\right)$.

Detta innebär två saker:

$Re\left(w\right)\ge 0$

$Im\left(w\right)=0.$

Dvs vi får likhet om och endast om w är ett reellt tal som är större än eller lika med noll.

Notera att vi kunde ha gjort det enkelt för oss genom att välja u = 0 som svar, vilket uppenbart gör att likheten blir uppfylld.

Grejen är på alla andra liknande frågor har vi antagit att z eller u (den variabeln som efterfrågas) är t.ex a+bi eller c+di, men här gör vi inte så utan vi antar att u är k*z

Kolla ex b):

När vet jag när jag ska använda respektive sätt?

Det är alltid svårt att veta på förhand vilken metod som är bäst. Man försöker med någon metod och om det blir för grötigt så testar man någon annan.

I detta fall så hade jag svarat på denna fråga i en annan tråd (som jag inte kunde hitta), så jag visste ungefär hur man kunde göra från början.

Men testa med att att göra ansatsen u = c + id. Det borde i alla fall i princip gå att få fram svaret även på detta sätt.

Tillägg: 24 nov 2023 12:19

I detta fall kan det också vara bra att tänka geometriskt. Man kan ju se addition av komplexa tal som en slags vektoraddition. Kanske inser man då att u bör ha samma riktning som z för att likheten skall gälla.

så det går bra att använda u=c+di? För man får liksom samma svar

Mattehjalp skrev:

så det går bra att använda u=c+di? För man får liksom samma svar

Ja, det går bra.

Se svar #2, #3 och framför allt, svar #4

tack!!