Absolutbelopp ekvation

nilson99 skrev:

Ange antalet lösningar till ekvationen

|(|x| − 2)(3 − |x|)| = 4.

svar: 4

ingen aning hur jag ska lösa det här då jag i vanliga fall inte har problem med enkla ekvationer som angår absolutbelopp, men denna kändes rakt av förvirrande. Någon som kan förklara hur man räknar ut alla lösningar?

Du kan dela upp det i olika fall:

• $x < 0$. Skriv om ekvationen för detta fallet och lös den.
• $x\geq 0$. Skriv om ekvationen för detta fallet och lös den.

Alternativt sätter man $t=|x|$ och löser en vanlig andragradsekvation uttryckt i $t$. På slutet byter man tillbaks till $x$ igen, via sambanden:

$|x|=t_1$

$\left|x\right|=t_2$

Yngve skrev:

nilson99 skrev:

Ange antalet lösningar till ekvationen

|(|x| − 2)(3 − |x|)| = 4.

svar: 4

ingen aning hur jag ska lösa det här då jag i vanliga fall inte har problem med enkla ekvationer som angår absolutbelopp, men denna kändes rakt av förvirrande. Någon som kan förklara hur man räknar ut alla lösningar?

Du kan dela upp det i olika fall:

• $x < 0$. Skriv om ekvationen för detta fallet och lös den.
• $x\geq 0$. Skriv om ekvationen för detta fallet och lös den.

 Jo det hängde jag med på, men blir det inte typ ganska många olika fall då? Tyckte det blev förvirrande

Tycker du att två olika fall är många?

Smaragdalena skrev:

Tycker du att två olika fall är många?

Jahapp jag trodde det var fyra fall

Variabeln x kan ju inte vara positiv och negativ samtidigt.

nilson99 skrev:

Jahapp jag trodde det var fyra fall

Ja det blir flera fall i ett senare skede.

Men det är ofta en bra strategi att dela upp ett komplext problem i mindre delar, så börja med den första uppdelningen, för $x<>$ resp $x\geq 0$.

Yngve skrev:

nilson99 skrev:

Jahapp jag trodde det var fyra fall

Ja det blir flera fall i ett senare skede.

Men det är ofta en bra strategi att dela upp ett komplext problem i mindre delar, så börja med den första uppdelningen, för $x<>$ resp $x\geq 0$.

Såhär tänkte jag:

|(|x|-2)(3-|x|)|=4

(x), då x>=0

-(x), då x<0

dvs (x-2)(3-x)=4 då x>=0, denna ekvation har inga reella lösningar.

(-x-2)(3+x)=4, då x<0, denna har inte heller några reella lösningar.

fattar inte alls vad jag ska göra fortfarande? 

Du har ekvationen |(|x|-2)(3-|x|)|=4. Om x är positivt blir ekvationen |(x-2)(3-x)|=4. Multiplicera ihop parenteserna, subtrahera 4 från båda sidorna och lös med pq-formeln. Du får två lösningar, som båda är större än 0. Gör på motsvarande sätt för negativa x-värden.

Har du tittar på grafen, som jag länkade till tidigare?

EDIT: La till missade absolutbeloppstreck runt svaret

nilson99 skrev:

Såhär tänkte jag:

|(|x|-2)(3-|x|)|=4

(x), då x>=0

-(x), då x<0

dvs (x-2)(3-x)=4 då x>=0, denna ekvation har inga reella lösningar.

(-x-2)(3+x)=4, då x<0, denna har inte heller några reella lösningar.

fattar inte alls vad jag ska göra fortfarande? 

Börja med att dela upp problemet i två fall:

1. Då $x\geq 0$ så är $|x|=x$ och ekvationen blir $|(x-2)(3-x)|=4$.

2. Då $x<>$ så är $|x|=-x$ och ekvationen blir $|(-x-2)(3-(-x))|=4$, dvs $|-(x+2)(3+x)|=4$.

Fall 1 finns nu i sin tur i två varianter:

1a. Då $(x-2)(3-x)\geq 0$ så är $|(x-2)(3-x)|=(x-2)(3-x)$, vilket ger ekvationen $(x-2)(3-x)=4$.

1b. Då $(x-2)(3-x)<>$ så är $|(x-2)(3-x)|=-(x-2)(3-x)$ vilket ger ekvationen $-(x-2)(3-x)=4$.

Även fall 2 finns i två varianter:

2a. Då $-(x+2)(3+x)\geq 0$ så är $|-(x+2)(3+x)|=-(x+2)(3+x)$ , vilket ger ekvationen $-(x+2)(3+x)=4$.

2b. Då $-(x+2)(3+x)<>$ så är $|-(x+2)(3+x)=(x+2)(3+x)$, vilket ger ekvationen $(x+2)(3+x)=4$.

Du har nu delat upp det komplexa problemet i 4 enkla ekvationer. Hur många (reella) lösningar finns det sammanlagt?

OBS - eftersom det endast är antalet lösningar som efterfrågas så behöver du egentligen inte lösa alla ekvationer fullständigt.

Med $|x|=t$ finns det två alternativ:

Alt. 1:

$(t-2)(3-t)=4$

Alt. 2:

$(t-2)(3-t)=-4$

Yngve skrev:

nilson99 skrev:

Såhär tänkte jag:

|(|x|-2)(3-|x|)|=4

(x), då x>=0

-(x), då x<0

dvs (x-2)(3-x)=4 då x>=0, denna ekvation har inga reella lösningar.

(-x-2)(3+x)=4, då x<0, denna har inte heller några reella lösningar.

fattar inte alls vad jag ska göra fortfarande? 

Börja med att dela upp problemet i två fall:

1. Då $x\geq 0$ så är $|x|=x$ och ekvationen blir $|(x-2)(3-x)|=4$.

2. Då $x<>$ så är $|x|=-x$ och ekvationen blir $|(-x-2)(3-(-x))|=4$, dvs $|-(x+2)(3+x)|=4$.

Fall 1 finns nu i sin tur i två varianter:

1a. Då $(x-2)(3-x)\geq 0$ så är $|(x-2)(3-x)|=(x-2)(3-x)$, vilket ger ekvationen $(x-2)(3-x)=4$.

1b. Då $(x-2)(3-x)<>$ så är $|(x-2)(3-x)|=-(x-2)(3-x)$ vilket ger ekvationen $-(x-2)(3-x)=4$.

Även fall 2 finns i två varianter:

2a. Då $-(x+2)(3+x)\geq 0$ så är $|-(x+2)(3+x)|=-(x+2)(3+x)$ , vilket ger ekvationen $-(x+2)(3+x)=4$.

2b. Då $-(x+2)(3+x)<>$ så är $|-(x+2)(3+x)=(x+2)(3+x)$, vilket ger ekvationen $(x+2)(3+x)=4$.

Du har nu delat upp det komplexa problemet i 4 enkla ekvationer. Hur många (reella) lösningar finns det sammanlagt?

OBS - eftersom det endast är antalet lösningar som efterfrågas så behöver du egentligen inte lösa alla ekvationer fullständigt.

Krävs det inte att man testar lösningarna? Eller är man garanterad att lösningarna kommer vara godkända rötter?

Dizzor skrev:

Krävs det inte att man testar lösningarna? Eller är man garanterad att lösningarna kommer vara godkända rötter?

Jo, man måste kontrollera att lösningarna hamnar i det angivna intervallet och förkasta alla de lösningar som inte gör det.