Absolutbelopp av komplexa tal

Har du provat att rita?

Nej, jag vet inte riktigt hur jag skulle kunna rita uppgiften.

Är du med på att dina tal z ligger på en cirkel i det komplexa talplanet med radie 1 och centrum i 3 + 3i?

Rita även ut origo så bör du se åt vilket håll som absolutbeloppet blir maximalt.

Jag hade sett det mer såhär, vilken är den längsta pilen du kan plussa på och samtidigt hamna i cirkeln. 

Inte riktigt, kan du förklara?

Är du med på att $|z|=1$ är en cirkel runt origo med radien 1?

Japp!

Är du med på att $|z-(3+3i)|=1$ är en cirkel med centrum i $3+3i$ och med radien 1?

Nu minns jag, men hur ska jag gå vidare?

Kan du rita upp den cirkeln i det komplexa talplanet?

Är du med på att alla punkter som ligger på den cirkeln uppfyller villkoret $|z-3-3i|=1$ (Nu tog jag bort parentesen, men betydelsen är samma som $|z-(3+3i)|=1$.)

Såhär?

Men vad letar jag efter egentligen?

Alla vektorer som går igenom cirkeln från origo?

Nu har du ritat cirkeln runt punkten 3-3i, inte 3+3i, som det står i uppgiften.

Är du med på att avsolutbeloppet för ett komplext tal är talets avstånd från origo?

Japp, jag ritade egentligen för 3+ 3i men bilden vändes.

Lägg gärna in en bild som är på rätt håll!

Är du med på att du vill hitta den punkt på cirleln som är längdt från origo?

Ja, men hur ska jag veta vilken vektor det är?

Komplettera din bild med en cirkel, som visar att punkten verkligen ligger längst bort från origo.

Att ta fram en rät linje som går genom två kända punkter lärde du dig i Ma2.

Du vet att punkten ligger 1 enhet längre bort från origo än vad punkten 3+3i gör.

Det går att lösa det rätt enkelt algebraiskt också. Sätt:

$z=a+bi$

och låt sedan vinkeln $v$ beteckna vinkeln mot linjen $y=3$ i cirkeln. Då kan man skriva enligt följande:

$a=3+\cos v$ och $b=3+\sin v$

Vi önskar att maximera $|z|$, vilket är ekvivalent med att maximera $|z|^2=a^2+b^2$.

Detta uttryck kan vi skriva som en funktion av vinkeln $v$, vilket ger:

$f(v)=(3+\cos v)^2+(3+\sin v)^2=...$

Sedan sökes maximum på vanligt sätt genom att sätta:

$\frac{df}{dv}=0$

Jag fattar det med derivatan, men var ska vinkel v vara och varför blir det 3 +cosv ? Jag tolkar det som att det är såhär

Nej, göra som tomast80 föreslår så skall du rita en linje från cirkelns centrum till cirkelns peiferi.

Alla punkter som ligger på cirkeln har koordinaterna $3+\cos v+i(3+\sin v)$, eftersom cirkelns radie är 1. Vinkeln är från punkten (3+3i), mätt från den vågräta linje som går genom cirkelns centrum. 

Ja, nu förstår jag. Tack för hjälpen!

Jag sitter med samma tal just nu, men eftersom avsnittet i boken inte rör derivata så undrar jag om det finns ett annat sätt att räkna ut svaret. 

Smulan skrev:

Jag sitter med samma tal just nu, men eftersom avsnittet i boken inte rör derivata så undrar jag om det finns ett annat sätt att räkna ut svaret. 

Välkommen till Pluggakuten!

Gör en ny tråd om din fråga (även om det är samma fråga som diskuteras här), lägg tråden på rätt nivå och visa hur du har försökt /moderator

Det tycks dessutom finnas en till tråd av samma användare om samma problem...

https://www.pluggakuten.se/trad/absolutbelopp-102/