Absolutbelopp och bevis
Uppgift: visa att |x+2|-|x|≤2 för alla reella värden på x
Försök:
|x+2|-|x|>2 <-motsägelsebevis
|x+2|=√(x+2)^2 --> √((x^2)+4x+4) --> pq-formeln: 4/2 +-√((4/2)^2) -4 --> x=2
IxI= √(x^2)
|x+2|-|x|>2 <-- sätt in x=2 --> (2+2)-2 >2 --> 2>2 <-- motsägelse
Hur gör jag detta allmänt för alla reella tal?
Jag skulle börja med att rita upp |x+2|, |x| och |x+2|-|x| för att veta vad jag håller på med. Sedan skulle jag dela in de reella talen i tre intervall x<-2, -2<x<0 och x>0 och undersöka funktionen f(x)= |x+2|-|x| i varje intervall för sig.
Om du vill göra ett motsägelsebevis så ska du anta att det finns ett reellt tal () sådant att |y+2|-|y|>2.
Fall 1. Om y=-2 får du en motsägelse.
Fall 2. Om y>-2 får du en motsägelse.
Fall 3. Om y<-2 får du en motsägelse.
Det var alltså fel att anta att ett sådant reellt tal fanns. Slutsatsen är att för varje reellt tal () gäller olikheten .
