Absolutbelopp

Jag tror inte riktigt ditt resonemang stämmer. När vi har absolutbelopp vill vi nästan alltid dela upp i olika fall baserat på när uttrycken inom absolutbeloppen är negativa eller icke-negativa.

Så här skulle jag lösa den:

Fall 1: Om x >= 0 så är både 2x och x + 1 icke-negativa.

Då fås från 2x >= x + 1 att x >= 1. Slutsats: alla x >= 1 satisfierar olikheten.

Fall 2: Om x ligger på intervallet [-1, 0) är 2x negativt och x + 1 icke-negativt.

Då fås av -2x >= x + 1 att x <= -1/3.

Slutsats: alla x på intervallet [-1, - 1/3] satisfierar olikheten.

Fall 3: Om x < -1 så är både 2x och x + 1 negativa.

Då fås från -2x >= -x - 1 att x <= 1.

Slutsats: alla x < -1 satisfierar olikheten.

Vi har nu täckt alla möjliga x i de tre fallen ovan. Vi slår ihop alla x som satisfierar olikheten och får att x >= 1 eller x <= -1/3.

Okej så de olika x som vi fått ut från de olika fallen kan vara på olika ställen på tallinjen och behöver inte sammanfalla? 

Ja. Vi delar upp tallinjen $\mathrm{ℝ}$ i tre delar i de olika fallen, nämligen $[0,\infty )$ i fall ett, $[-1,0)$ i fall två, och $(-\infty ,-1)$ i fall tre. Unionen av dessa intervall är hela $\mathrm{ℝ}$, och ingen av dem överlappar med varandra. Det är alltså tre fall som tillsammans täcker in exakt hela tallinjen. Det vi gör sedan är att vi kollar för var och en av dessa bitar vilka värden, om några, uppfyller olikheten.

I fall ett gav olikheten att $x\ge 1$, så alla $x\in [1,\infty )$ satisfierar olikheten.

i fall två gav olikheten att $x\le -\frac{1}{3}$, så alla $x\in [-1,-1/3]$ satisfierar olikheten. Här kommer den undre gränsen för intervallet från att fall två bara undersöker möjliga värden på intervallet $[0,-1)$.

I fall tre gav olikheten att $x\le 1$, vilket alla $x\in (-\infty ,-1)$ uppfyller.

För när jag gjorde denna tidigare uppgift så räknade jag när de sammanföll, men jag antar jag löst denna på fel sätt nu då?

Johanna93 skrev:

För när jag gjorde denna tidigare uppgift så räknade jag när de sammanföll, men jag antar jag löst denna på fel sätt nu då?

I detta fall har du fått fram rätt svar, men metoden är egentligen inte korrekt i det allmänna fallet. Anledningen är att i din första uträkning när du gör antagandet att $\left|x\right|=x$, så betyder det att du antar att $x\ge 0$. Att du sedan ur olikheten får fram att $x\ge -1$, betyder inte att olikheten gäller för t.ex. $-0.5$. Du har nämligen fått fram $x\ge -1$ under antagandet att $x\ge 0$. Därför måste slutsatsen bli att olikheten gäller för alla $x\ge 0$.

Matematiskt tar vi snittet av mängden $x\ge 0$ med mängden $x\ge -1$, vilket bara blir $x\ge 0$.

I den andra uträkningen gör du antagandet att $\left|x\right| = -x$, vilket alltså är samma som att anta att $x<0$. Under det antagandet, får du att $x\ge -\frac{1}{3}$. Det betyder att din slutsats måste bli att olikheten gäller för $-\frac{1}{3}\le x<0$. Återigen tar vi snittet av $x<0$ och $x\ge -\frac{1}{3}$.

Vi har täckt in alla möjliga $x\in \mathrm{ℝ}$ genom att dela upp i två fall: $x\ge 0$ och $x<0$.

Vi fick att $x\ge 0$ och $-\frac{1}{3}\le x<0$ satisfierar olikheten. Slår vi ihop dessa (matematiskt tar vi unionen av lösningsmängderna) kan vi skriva det som $x\ge -\frac{1}{3}$.

Så hur skulle jag löst den på rätt sätt? Skulle jag satt brytpunkt x=0? Och kollat på fallen där x<0 och x>=0?

Det ser ut som det var det du gjorde. Jag skrev precis hur jag skulle löst den. Det viktiga är att man håller koll på vilka möjliga värden man undersöker i varje fall, och inte drar slutsatser om värden som ligger utanför de man undersöker.

Nu tror jag att jag hänger med! Tack!