absolutbelopp (Matematik/Matte 3/Algebraiska uttryck)

Uppgiften kan lösas på olika sätt.

Ett sätt är att dela upp ekvationen I två olika fall, nämligen ett fall dör x+3 $\geq$ 0 och ett där x+3 < 0, där ekvationen får olika utseende i de båda fallen.

Ett annat sätt är att lösa uppgiften grafiskt. Du kan då hitta eventuella skärningspunkter mellan graferna till y = x+3 och y = |x+3|.

Fundera på för vilka värden på x som uttrycket är oförändrat då man tar dess absolutbelopp.

Yngve skrev:
Uppgiften kan lösas på olika sätt.

Ett sätt är att dela upp ekvationen I två olika fall, nämligen ett fall dör x+3 $\geq$ 0 och ett där x+3 < 0, där ekvationen får olika utseende i de båda fallen.

Ett annat sätt är att lösa uppgiften grafiskt. Du kan då hitta eventuella skärningspunkter mellan graferna till y = x+3 och y = |x+3|.

Så x≥-3 och x<-3??

itter skrev:

Så x≥-3 och x<-3??

Ja, det är de två intervallen.

I det ena intervallet kan |x+3| skrivas som x+3, vilket ger dig en enkel ekvation att lösa.

I det andra intervallet kan |x+3| skrivas som -(x+3), vilket ger dig en lika enkel ekvation att lösa.

Jag överlåter åt dig att klura ut vilket uttryck som hör till vilket intervall.

Yngve skrev:
itter skrev:

Så x≥-3 och x<-3??

Ja, det är de två intervallen.

I det ena intervallet kan |x+3| skrivas som x+3, vilket ger dig en enkel ekvation att lösa.

I det andra intervallet kan |x+3| skrivas som -(x+3), vilket ger dig en lika enkel ekvation att lösa.

Jag överlåter åt dig att klura ut vilket uttryck som hör till vilket intervall.

Om jag tänker rätt hör x<-3 till -(x+3) och x≥-3 till x+3 men svaret är ju endast x≥-3 så varför försvinner det andra intervallet?

Som vanligt: börja med att rita!

Smaragdalena skrev:
Som vanligt: börja med att rita!

hur kan jag rita detta uttryck?

Rita y = x+3 först. Visa hur det blev.

Laguna skrev:
Rita y = x+3 först. Visa hur det blev.

här är båda tillsammans

Det borde inte vara någonting nedanför avsnittet -3 .. -2. Vad är det andra du har ritat?

Laguna skrev:
Det borde inte vara någonting nedanför avsnittet -3 .. -2. Vad är det andra du har ritat?

jag vet att det inte ska vara, ritade endast båda linjer.

itter skrev:

Om jag tänker rätt hör x<-3 till -(x+3) och x≥-3 till x+3 men svaret är ju endast x≥-3 så varför försvinner det andra intervallet?

Ja det stämmer.

Jag tycker att vi gör klart enligt den här lösningsmetoden först så slipper vi förvirra saker genom att följa två samtidiga spår.

Vi har alltså två intervall som vi vill undersöka.

Intervall 1: x < -3

I detta intervall gäller det att |x+3| = -(x+3).

Ekvationen kan då skrivas x+3 = -(x+3).

Försök nu att lösa den ekvationen och se vad du kommer fram till.

Intervall 2: x $\geq$ -3

I detta intervall gäller det att |x+3| = x+3.

Ekvationen kan då skrivas x+3 = x+3.

Försök nu att lösa den ekvationen och se vad du kommer fram till.

Yngve skrev:
itter skrev:

Om jag tänker rätt hör x<-3 till -(x+3) och x≥-3 till x+3 men svaret är ju endast x≥-3 så varför försvinner det andra intervallet?

Ja det stämmer.

Jag tycker att vi gör klart enligt den här lösningsmetoden först så slipper vi förvirra saker genom att följa två samtidiga spår.

Vi har alltså två intervall som vi vill undersöka.

Intervall 1: x < -3

I detta intervall gäller det att |x+3| = -(x+3).

Ekvationen kan då skrivas x+3 = -(x+3).

Försök nu att lösa den ekvationen och se vad du kommer fram till.

Intervall 2: x $\geq$ -3

I detta intervall gäller det att |x+3| = x+3.

Ekvationen kan då skrivas x+3 = x+3.

Försök nu att lösa den ekvationen och se vad du kommer fram till.

på intervall 1: x=-3

på intervall 2: går den inte.

itter skrev:

på intervall 1: x=-3

Det stämmer. Men x = -3 ingår inte i intervallet x < -3. Eftersom vi inte hittar någon lösning då x < -3 så betyder det att ekvationen saknar lösning då x < -3. Är du med på det?

på intervall 2: går den inte.

Jo, ekvationen x+3 = x+3 är ju uppfylld för alla möjliga värden på x, eller hur?

Yngve skrev:
itter skrev:

på intervall 1: x=-3

Det stämmer. Men x = -3 ingår inte i intervallet x < -3. Det betyder att ekvationen saknar lösning då x < -3

på intervall 2: går den inte.

Jo, ekvationen x+3 = x+3 är ju uppfylld för alla möjliga värden på x, eller hur?

Ja det är sant. hmm tror inte jag hänger med med det om x inte får vara -3. för svaret är ju x≥-3?

x får vara lika med -3, om man löser ekvationen på intervall 2 ( $x\ge-3$ ) men inte när man löser ekvatonen på entervall 1 (x<-3). Ser du att det var "större än eller lika med " i intervall 2 men bara "mindre än" i intervall 1?

Smaragdalena skrev:
x får vara lika med -3, om man löser ekvationen på intervall 2 ( $x\ge-3$ ) men inte när man löser ekvatonen på entervall 1 (x<-3). Ser du att det var "större än eller lika med " i intervall 2 men bara "mindre än" i intervall 1?

så hur kan jag veta vilket intervall jag ska välja?

Det är ingen motsägelse. Ekvationen är sann för alla tal som är lika med eller större än -3, och falsk för alla tal som är mindre än -3.

Smaragdalena skrev:
Det är ingen motsägelse. Ekvationen är sann för alla tal som är lika med eller större än -3, och falsk för alla tal som är mindre än -3.

kan man säga att intervall 1 är "onödig" då?

itter skrev:

kan man säga att intervall 1 är "onödig" då?

Det var nödvändigt att undersöka det intervallet, så på det sättet var intervallet inte onödigt.

Förstår du metoden?

Dela upp problemet i flera icke överlappande intervall (vanligtvis är antalet intervall ett fler än antalet uttryck med absolutbelopp).
Skriv om absolutbeloppen till uttryck utan absolutbelopp I respektive intervall.
Lös ekvationen/olikheten I respektive intervall.
Kontrollera om eventuella lösningar är giltiga i aktuellt intervall, förkasta dem annars.
Sammanställ alla giltiga lösningar.

Yngve skrev:
Förstår du metoden?

Dela upp problemet i flera icke överlappande intervall (vanligtvis är antalet intervall ett fler än antalet uttryck med absolutbelopp).

Skriv om absolutbeloppen till uttryck utan absolutbelopp I respektive intervall.

Lös ekvationen/olikheten I respektive intervall.

Kontrollera om eventuella lösningar är giltiga i aktuellt intervall, förkasta dem annars.

Sammanställ alla giltiga lösningar.

Ja jag tror jag förstår, får jag fråga vad som hade hänt om x<-3 var inom intervallet. Vad skulle svaret bli då?

Vi kan ta ett annat exempel för att besvara din fråga.

Lös ekvationen x+5 = |3x+9|

Visa hur du går tillväga med samma metod som ovan.

x+5 = -(3x+9) --> x=-3.5

x+5 = 3x+9 --> x=-2

Är detta rätt? Sen är jag fast..

Du hoppade över steg 1 i metodbeskrivningen.

Därför kunde du inte gå vidare med steg 4 och 5.

Yngve skrev:
Du hoppade över steg 1 i metodbeskrivningen.

Därför kunde du inte gå vidare med steg 4 och 5.

verkar inte förstå det steget..

Dela upp x-axeln I två intervall.

I det ena intervallet gäller att |3x+9| = 3x+9.

I det andra intervallet gäller att |3x+9| = -(3x+9).

Beskriv dessa två intervall och beskriv även vilket som är vilket.

Hur menar du beskriv?

Så efter det steget gör jag det jag gjorde och sedan?

I vilket intervall gäller det att |3x+9| = 3x+9? I vilket intervall gäller det att |3x+9| = -(3x+9)?

Intervall |3x+9| = 3x+9? Är svaret då x≥-2

|3x+9| = -(3x+9)? Och då är denna x<-3.5?

itter skrev:
Intervall |3x+9| = 3x+9? Är svaret då x≥-2

|3x+9| = -(3x+9)? Och då är denna x<-3.5?

Här hänger jag inte alls med. Visa steg för steg hur du kommer fram till de intervallen!

Tillägg: Jag hade inte sett Yngves nya uppgift.

itter skrev:
Intervall |3x+9| = 3x+9? Är svaret då x≥-2

|3x+9| = -(3x+9)? Och då är denna x<-3.5?

Jämför med ursprungsuppgiften som gällde ekvationen x+3 = |x+3|

Där var de båda intervallen x < -3 och x $\geq$ -3.

Hur ser de båda intervallen ut i denna min påhittade uppgift, som gäller ekvationen x+5 = |3x+9|?

Fråga om det är otydligt för dig vad order intervall betyder.

Yngve skrev:
itter skrev:
Intervall |3x+9| = 3x+9? Är svaret då x≥-2

|3x+9| = -(3x+9)? Och då är denna x<-3.5?

Jämför med ursprungsuppgiften som gällde ekvationen x+3 = |x+3|

Där var de båda intervallen x < -3 och x $\geq$ -3.

Hur ser de båda intervallen ut i denna min påhittade uppgift, som gäller ekvationen x+5 = |3x+9|?

Fråga om det är otydligt för dig vad order intervall betyder.

Är inte intervallen det jag skrev, x≥-2 och x<-3.5..

itter skrev:

Är inte intervallen det jag skrev, x≥-2 och x<-3.5..

Nej det är inte de intervallen vi ska dela upp ekvationen i.

Vi vill kunna skriva uttrycket |3x+9| utan absolutbelopptecken så att vi enklare kan lösa ekvationen.

Då utnyttjar vi att absolutbelopp har den egenskapen att |a| = a om a $\geq$ 0 och att |a| = -a om a < 0.

====================

I vårt fall får vi alltså att |3x+9| = 3x+9 om 3x+9 $\geq$ 0, dvs om x $\geq$ -3 och att |3x+9| = -(3x+9) om 3x+9 < 0, dvs om x < -3

De två intervall vi ska dela upp ekvationen i är alltså följande:

Intervall 1: x < -3

I detta intervall gäller att |3x+9| = -(3x+9).

Ekvationen kan då skrivas x+5 = -(3x+9).

Lös den ekvationen och kontrollera att lösningen/-arna ligger i det aktuella intervallet, dvs att x < -3.

Annars ska du förkasta lösningen/-arns.

Intervall 2: x $\geq$ -3

I detta intervall gäller att |3x+9| = 3x+9

Ekvationen kan då skrivas x+5 = 3x+9

Lös den ekvationen och kontrollera att lösningen/-arna ligger i det aktuella intervallet, dvs att $x\geq$ -3.

Annars ska du förkasta lösningen/-arna.

Yngve skrev:
itter skrev:

Är inte intervallen det jag skrev, x≥-2 och x<-3.5..

Nej det är inte de intervallen vi ska dela upp ekvationen i.

Vi vill kunna skriva uttrycket |3x+9| utan absolutbelopptecken så att vi enklare kan lösa ekvationen.

Då utnyttjar vi att absolutbelopp har den egenskapen att |a| = a om a $\geq$ 0 och att |a| = -a om a < 0.

====================

I vårt fall får vi alltså att |3x+9| = 3x+9 om 3x+9 $\geq$ 0, dvs om x $\geq$ -3 och att |3x+9| = -(3x+9) om 3x+9 < 0, dvs om x < -3

De två intervall vi ska dela upp ekvationen i är alltså följande:

Intervall 1: x < -3

I detta intervall gäller att |3x+9| = -(3x+9).

Ekvationen kan då skrivas x+5 = -(3x+9).

Lös den ekvationen och kontrollera att lösningen/-arna ligger i det aktuella intervallet, dvs att x < -3.

Annars ska du förkasta lösningen/-arns.

Intervall 2: x $\geq$ -3

I detta intervall gäller att |3x+9| = 3x+9

Ekvationen kan då skrivas x+5 = 3x+9

Lös den ekvationen och kontrollera att lösningen/-arna ligger i det aktuella intervallet, dvs att $x\geq$ -3.

Annars ska du förkasta lösningen/-arna.

Var fick du x≥-3 och x<-3 ifrån?

Svaret blev utifrån det du skriver x≥-3 för att-2 är med i det intervallet.

-3 kommer för brytpunkten för absolutbeloppet, alltså när 3x+9 = 0.

Smaragdalena skrev:
-3 kommer för brytpunkten för absolutbeloppet, alltså när 3x+9 = 0.

Okej så svaret blir x≥-3?

Nej.

Du har hittat en lösning i intervallet x $\geq$ -3 och en lösning i intervallet x < -3.

Yngve skrev:
Nej.

Du har hittat en lösning i intervallet x $\geq$ -3 och en lösning i intervallet x < -3.

Då är jag helt förvirrad.

Vilket/vilka av följande påståenden är du inte med på/förvirrar dig?

Ekvationen x+5 = |3x+9| kan skrivas som x+5 = 3x+9 då x $\geq$ -3
I detta intervall (dvs för x $\geq$ -3) har ekvationen lösningen x = -2
Läsningen x = -2 ligger inom det tillåtna iervallet x $\geq$ -3, så den är OK.
Ekvationen x+5 = |3x+9| kan skrivas som x+5 = -(3x+9) då x < -3.
I detta intervall (dvs för x < -3) har ekvationen lösningen x = -3,5
Läsningen x = -3,5 ligger inom det tillåtna iervallet x < -3, så den är OK.

Yngve skrev:
Vilket/vilka av följande påståenden är du inte med på/förvirrar dig?

Ekvationen x+5 = |3x+9| kan skrivas som x+5 = 3x+9 då x $\geq$ -3

I detta intervall (dvs för x $\geq$ -3) har ekvationen lösningen x = -2

Läsningen x = -2 ligger inom det tillåtna iervallet x $\geq$ -3, så den är OK.

Ekvationen x+5 = |3x+9| kan skrivas som x+5 = -(3x+9) då x < -3.

I detta intervall (dvs för x < -3) har ekvationen lösningen x = -3,5

Läsningen x = -3,5 ligger inom det tillåtna iervallet x < -3, så den är OK.

Jag förstår dit, men vad är svaret?

Svaret är att ekvationen har de två lösningarna x = -2 och x = -3,5.

Det finns alltså en lösning I varje intervall.

Detta är för att visa hur det kan se ut när det finns lösningar i båda intervallen, dvs som svar på din fråga i #23

Såg du i lösningen att vi använde oss av alla steg 1-5 i metodbeskrivningen i svar #22?

Yngve skrev:
Såg du i lösningen att vi använde oss av alla steg 1-5 i metodbeskrivningen i svar #22?

Ja

Bra.

Vill du ha ytterligare ett exempel där du kan öva på den algebraiska lösningsmetoden innan vi går in på och visar en grafisk lösning?

Nej jag tror jag förstår, vi kan gå vidare

OK bra, då tittar vi på hur vi kan lösa/illustrera ekvationer med absolutbelopp grafiskt.

Steg 1: Är du med på att grafen till f(x) = |3x+9| ser ut så här?

Ja

OK bra.

Då är du även med på att ekvationen x+5 = |3x+9| kan illustreras grafiskt enligt följande och att ekvationens lösningar återfinns där de båda graferna sammanfaller/skär varandra?

JAHA!

Bra!

Då kan vi gå tillbaka till ursprungsproblemet, dvs ekvationen x+3 = |x+3|

Vi börjar med att rita grafen till f(x) = |x+3|:

Sedan ritar vi i samma koordinatsystem in grafen till g(x) = x+3:

Ekvationens lösningar är där dessa båda grafer sammanfaller/skär varandra.

Vi ser då att graferna är identiska för alla x $\geq$ -3 och att de inte skär varandra alls i intervallet x < -3.

Det betyder i sin tur att ekvationen har oändligt många lösningar i intervallet x $\geq$ -3 (nämligen alla x $\geq$ -3) och att ekvationen saknar lösningar i intervallet x < -3

Blev detta tydligt för dig?

Ja mycket tydligare!

Bra!

Då tror jag att vi har täckt grunderna i ekvationslösning där absolutbelopp ingår.

Vad gäller olikheter så kan vi använda samma metoder.

Exempel:

Olikheten x+5 < |3x+9| har lösningarna x < -3,5 och x > -2.
Olikheten x+5 > |3x+9| har lösningen -3,5 < x < -2.

Detta kan du avläsa direkt ur bilden i svar #50 eller beräkna algebraiskt enligt metoden jag beskrev i svar #22.

============

Det blir lite rörigare när det finns flera uttryck med absolutbelopp, t.ex. |x+2| + |x-4| = 6.

Men tanken bakom den algebraiska lösningsmetoden är densamma, bara att du får dela upp x-axeln I tre intervall istället för två och sedan formulera om ekvationen till tre olika ekvationer, en för varje intervall.