Absolutbelopp

Hej

Jag skulle behöva lite hjälp med att lösa följande ekvation med absolutbelopp:

$|x^{2} - 1| + 2 |x - 2| - 3 = 0$

Jag började med att sätta $- 3 + 2 |x - 2| + |x^{2} - 1| = 0$ sedan flyttade jag om så att jag fick $2 |x - 2| = 3 - |x^{2} - 1|$ och delade sedan båda led med 2, då fick jag kvar:

$|x - 2| = \frac{1}{2} (3 - |x^{2} - 1|)$

men sedan har jag fastnat lite och vet inte riktigt hur man ska ta sig vidare.

Jag vet ju exempelvis att i VL har vi två fall, om 2 är mindre än 2 eller större.

Det lättaste är nog att dela upp det i flera olika fall

$x < -1$
$-1 \le x \le 1$
$1 < x \le 2$
$2 < x$

Sedan löser du den i varje enskilt fall.

jag fick att då x<-1 blir rötterna x=0 och x=2, då 2<x fick jag rötterna -2 och 4

i det andra fallet -1<x1 fick jag rötterna $x = \sqrt{3} - 1$ och $x = - \sqrt{3} - 1$

I tredje fallet 1<x<2 ger väl samma svar som första och då blir samtliga rötter

x= $- 2, - \sqrt{3} - 1, 0, \sqrt{3} - 1, 2, 4$

Nej, en del lösningar går inte ihop. Till exempel kan inte x vara mindre än-1 och samtidigt lika med noll.

okej om man då går igenom så ser jag att för:

x<-1 får vi inte med x=0 eller x=2 så dom går bort.

-1 $\leq x \leq 1$ ligger $\sqrt{3} - 1$ inom intervallet men inte $- \sqrt{3} - 1$ så den går bort.

$1 < x \leq 2$ så ligger 2 inom intervallet, dock ej 0

2<x ligger 4 inom intervallet men inte -2

Sammanlagt får vi då rötterna $\sqrt{3} - 1, 2, 4$

Nej, 4 är ingen lösning till ekvationen. Kolla igen så att du löser fallet $2 < x$ korrekt.

i fallet 2<x får jag $(x^{2} - 1) + 2 (x - 2) - 3 = 0 \Rightarrow x^{2} - 1 + 2 x - 4 - 3 = 0 \Rightarrow x^{2} + 2 x - 8 = 0$ sedan använde jag pq-formeln och får då två rötter x=-2 och x=4 att x inte kan vara -2 vet vi ju men varför kan det inte bli 4?

Pq-formeln ger

$x = -1 \pm \sqrt{1 + 8} = -1 \pm 3$

Så lösningarna är $x_0 = -1 - 3 = -4$ och $x_1 = -1 + 3 = 2$ .

så värdena på x blir då 2 och $\sqrt{3} - 1$

Hur fick du ut rötterna för fall 2? Jag får de inte till samma..

Om det gäller att $-1 \le x \le 1$ så har du

$-(x^2 - 1) - 2(x - 2) - 3 = 0$

vilket förenklat blir

$x^2 + 2x - 2 = 0$

Pq-formeln ger nu att

$x = -1 \pm \sqrt{1 + 2}$

Så lösningarna är $x_0 = -1 + \sqrt{3}$ och $x_1 = -1 - \sqrt{3}$ .

men $x_{0} = - 1 - \sqrt{3}$ ligger väl inte inom intervallet? då x ska vara större än -1 så den lösningen går väl bort?

kvar får vi då $- 1 + \sqrt{3}$ från det intervallet samt x=2 från intervallet då det ligger inom intervallet $1 < x \leq 2$

alltså får vi totalt två värden på x, dvs $x = - 1 + \sqrt{3}$ och x=2

Ja det är korrekt, jag svarade bara på T1997 fråga hur man fick lösningarna i det fallet.

Svara

Visa senaste svar