Absolutbelopp

Att rita mängden $\left\{(x,y) \in {\mathrm{ℝ}}^2: \left|x\right|>\left|y\right|\right\}$kan göras genom att falluppdela absolutbeloppet. Kom ihåg att

$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x, om x \ge 0\\ -x, om x<0.\end{array}\right.$

och liknande för $\left|y\right|.$ Detta ger oss fyra olika fall.

Så om x>0, y>0 fås olikheten x>y, vilket ger dig halva första kvadranten. (Ser Du vilket område jag menar?). Falluppdela sedan på liknande sätt med fallen x>0, y<0, x<0, y>0 och x<0, y<0. Detta borde ge området i fråga.

Funktionen $f(x,y)=\ln (x^2-y^2)$ är bara definierad om argumentet är positivt, vilket ger olikheten $x^2-y^2>0 \iff x^2>y^2$,
vilket leder till $\left|x\right|>\left|y\right|.$

Ah oki tack! Hur vet man vilka fall som stämmer överens med  ∣∣x∣∣>∣∣y∣∣? 

MoaA skrev:

Ah oki tack! Hur vet man vilka fall som stämmer överens med  ∣∣x∣∣>∣∣y∣∣? 

Jag är inte helt säker på vad du menar, men när du bestämt de olika områdena för vardera fall (x >0, y>0, x>0, y<0, osv) så lappar du ihop bitarna för att få |x|>|y|. De olika fallen representerar ju hur mängden $\left\{(x,y): \left|x\right|>\left|y\right|\right\}$ser ut begränsad till olika kvadranter. Hjälper detta? 

"(x >0, y>0, x>0, y<0, osv)'' Varför vet man att områdena är dem? Fattar inte riktigt.... 

MoaA skrev:

"(x >0, y>0, x>0, y<0, osv)'' Varför vet man att områdena är dem? Fattar inte riktigt.... 

Absolutbeloppet $\left|x\right|$ser olika ut beroende på om $x>0$eller om $x\le 0$.Sammasakgällerför $\left|y\right|$.Merprecist;

$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x, om x\ge 0,\\ -x, om x\le 0.\end{array}\right.$

och 

$\left|y\right|=\left\{\begin{array}{l}y, om y\ge 0\\ -y om y\le 0.\end{array}\right.$

Vårt område i planet bestäms av olikheten $\left|x\right|>\left|y\right|$och beroende på vilket tecken som $x$och $y$har fås olika olikheter. Därför delar vi upp i fall: 

Om $x\ge 0, y\ge 0$ då fås olikheten $x>y.$

Om $x\ge 0, y\le 0$fås olikheten $x>-y$.

Om $x\le 0, y\ge 0$fås olikheten $-x>y$.

Och slutligen, om båda är negativa har vi olikheten $-x>-y$.

Alla dessa olikheter beskriver geometriska mängder i planet som tillsammans utgör den sökta mängden. Anledningen till att brytpunkten är vid $0$beror på absolutbeloppet. Om vi till exempel vill lösa olikheten $|3x+1|<4$måste vi kolla när $3x+1>0$respektive $3x+1\le 0.$

Som övning kan Du försöka rita mängden$\left\{(x,y): \left|x\right|+\left|y\right|=1\right\}$med samma resonemang.

Är detta korrekt? Hur gör jag sen för att förstå var området är? Det finns ju inget område som uppfyller alla 4 krav? Och visst är det så om man dividerar med - så byts > < med varandra?

En annan approach, med mindre algebra:

|x| > |y| beskriver alla punkter vars x-koordinat är större än dess y-koordinat, efter att man tagit bort eventuella minustecken.

En bra idé är att fundera på hur gränsen ser ut, dvs. |x| = |y|. Likheten innebär att om man tar bort minustecken från gränspunkternas koordinater, så är x och y lika. Därför måste en gränspunkt ligga antingen på linjen y=x eller på y=-x. Dessa linjer utgör det stora X:et i bilden som avgränsar området.

Efter att man streckat ut gränserna ser man att det bildas fyra områden, och ett eller flera av dem ska färgläggas. Välj en punkt från varje område, ta bort koordinaternas minustecken om de har några och jämför. Om x:et är störst, färglägg området.

I den bilden jag ritade över de fyra områdena. Är inte alla x störst så att alla borde väl stämma?

Bilden över områden jag pratar om är alltså ett koordinatsystem där bara linjerna y=x och y=-x är inritade. De bildar då ett stort X som delar koordinatsystemet i fyra delområden.

Om vi plockar en punkt på y-axeln, t.ex. (0, 5). Är x-koordinaten större än y-koordinaten? Nix, så området där (0, 5) ligger ska inte färgläggas. Samma sak med området där (0, -5) ligger, eftersom vi struntar i om tal är negativa eller inte när vi tar deras absolutbelopp.

EDIT: Och på samma sätt kan vi välja punkterna (5,0) och (-5,0) från de sista två områdena. Här är x-koordinaten större än y-koordinaten, så vi färglägger områdena. Då har vi fått bilden i lösningen.

Tack!