absolutbelopp

lamayo skrev:

För vilka punkter z gäller att
a) |z-1|=|z-i|

b) |z+3i|=|z-5i|?

a) Jag tänkte typ $\left|z-1\right|=\left\{\begin{array}{l}-z+1, z<0\\ z-1, z\ge 0\end{array}\right.$och $\left|z-i\right|=\left\{\begin{array}{l}-z+i, z<0\\ z-i, z\ge 0\end{array}\right.$sedan

-a-bi+1=-a-bi+i => bi=a

För z-1=z-i finns inget z

z-1=-z+i => bi=a

z-1=-z+1 => bi=a

Så det gäller för Im(z)=Re(z)

b) gjorde samma resonemang här och fick fram Im(z)=1.

Känns inte som jag tänker rätt alternativt gör det väldigt krångligt.

Skulle bli glad över lite hjälp!

I det reella fallet gäller att $|x-x_0|$ betecknar avståndet mellan talet $x$ och talet $x_0$. En ekvation som $|x-7|=2$ betecknar alltså alla de reella tal $x$ vars avstånd till talet $7$ är $2$, dvs $x=5$ och $x=9$.

På motsvarande sätt i det komplexa fallet gäller att $|z-z_0|$ betecknar avståndet mellan talet $z$ och talet $z_0$. En ekvation som $|z-4|=3$ betecknar alltså alla de komplexa tal $z$ vars avstånd till talet $4$ är $3$, dvs alla de komplexa tal $z$ som ligger på en cirkel med radie $3$ runt talet $4$.

---------

Nu kan vi tolka din a-uppgift.

Ekvationen lösning består alltså av alla de komplexa tal $z$ vars avstånd till talet $1$ är lika stort som deras avstånd till talet $i$.

Det här lämpar sig alltså väl för en grafisk lösning.

---------

Alternstiv algebraisk lösning:

Allmänt gäller att $|w|=\sqrt{(Re(w))^2+(Im(w))^2}$.

Ansätt nu $z=a+bi$. Du får då att $z-1=(a-1)+bi$ och att $z-i=a+(b-1)i$.

Sätt in dessa tal i ovanstående formel för absolutbelopp och sätt uttrycken lika med varandra.

Yngve skrev:

lamayo skrev:

För vilka punkter z gäller att
a) |z-1|=|z-i|

b) |z+3i|=|z-5i|?

a) Jag tänkte typ $\left|z-1\right|=\left\{\begin{array}{l}-z+1, z<0\\ z-1, z\ge 0\end{array}\right.$och $\left|z-i\right|=\left\{\begin{array}{l}-z+i, z<0\\ z-i, z\ge 0\end{array}\right.$sedan

-a-bi+1=-a-bi+i => bi=a

För z-1=z-i finns inget z

z-1=-z+i => bi=a

z-1=-z+1 => bi=a

Så det gäller för Im(z)=Re(z)

b) gjorde samma resonemang här och fick fram Im(z)=1.

Känns inte som jag tänker rätt alternativt gör det väldigt krångligt.

Skulle bli glad över lite hjälp!

I det reella fallet gäller att $|x-x_0|$ betecknar avståndet mellan talet $x$ och talet $x_0$. En ekvation som $|x-7|=2$ betecknar alltså alla de reella tal $x$ vars avstånd till talet $7$ är $2$, dvs $x=5$ och $x=9$.

På motsvarande sätt i det komplexa fallet gäller att $|z-z_0|$ betecknar avståndet mellan talet $z$ och talet $z_0$. En ekvation som $|z-4|=3$ betecknar alltså alla de komplexa tal $z$ vars avstånd till talet $4$ är $3$, dvs alla de komplexa tal $z$ som ligger på en cirkel med radie $3$ runt talet $4$.

---------

Nu kan vi tolka din a-uppgift.

Ekvationen lösning består alltså av alla de komplexa tal $z$ vars avstånd till talet $1$ är lika stort som deras avstånd till talet $i$.

Det här lämpar sig alltså väl för en grafisk lösning.

---------

Alternstiv algebraisk lösning:

Allmänt gäller att $|w|=\sqrt{(Re(w))^2+(Im(w))^2}$.

Ansätt nu $z=a+bi$. Du får då att $z-1=(a-1)+bi$ och att $z-i=a+(b-1)i$.

Sätt in dessa tal i ovanstående formel för absolutbelopp och sätt uttrycken lika med varandra.

Tack för hjälpen! 

lamayo skrev:

Tack för hjälpen! 

Vsg.

Visa gärna dina lösningar så att även andra användare kan lära sig.

lamayo skrev:

Bra. Kan du även uttrycka detta som en punktmängd z? Dvs z = "någonting algebraiskt"?

Och gjorde du den grafiska lösningen?

Yngve skrev:

lamayo skrev:

Bra. Kan du även uttrycka detta som en punktmängd z? Dvs z = "någonting algebraiskt"?

Och gjorde du den grafiska lösningen?

z=a+ai?

lamayo skrev:

z=a+ai?

OK det här är en (korrekt) grafisk illustration av din algebraiska lösning, eller hur?

Det jag var nyfiken på var om du även löste uppgiften grafiskt, dvs om du tittade på de två punkterna 1 och i och tog fram lösningen utan att räkna?

Yngve skrev:

lamayo skrev:

z=a+ai?

OK det här är en (korrekt) grafisk illustration av din algebraiska lösning, eller hur?

Det jag var nyfiken på var om du även löste uppgiften grafiskt, dvs om du tittade på de två punkterna 1 och i och tog fram lösningen utan att räkna?

hur gör jag det? trodde det var vad jag gjort på bilden ovan

lamayo skrev:

hur gör jag det? trodde det var vad jag gjort på bilden ovan

Till exempel: Du kan rita cirklar med samma radie r runt 1 och i.

Om r är tillräckligt stor så kommer cirklarna att tangera eller skära varandra.

I skärningspunkterna uppfylls villkoret |z-1| = |z-i|, så dessa punkter ingår i lösningsmängden.

Om du nu laborerar med olika storlekar på r så kommer du att se att skärningspunkterna ligger utefter just den linje du har ritat.

--------

Om du utgick från z = a + al när du ritade linjen så löste du uppgiften algebraiskt och illustrerade den grafiskt. Ser du skillnaden?

Yngve skrev:

lamayo skrev:

hur gör jag det? trodde det var vad jag gjort på bilden ovan

Till exempel: Du kan rita cirklar med samma radie r runt 1 och i.

Om r är tillräckligt stor så kommer cirklarna att tangera eller skära varandra.

I skärningspunkterna uppfylls villkoret |z-1| = |z-i|, så dessa punkter ingår i lösningsmängden.

Om du nu laborerar med olika storlekar på r så kommer du att se att skärningspunkterna ligger utefter just den linje du har ritat.

--------

Om du utgick från z = a + al när du ritade linjen så löste du uppgiften algebraiskt och illustrerade den grafiskt. Ser du skillnaden?

Förstår skillnaden nu men när jag ritar den grafiska lösningen blir det såhär:

vet inte om jag gör rätt, ser ju inte ut som något bevis ?

lamayo skrev:

Förstår skillnaden nu men när jag ritar den grafiska lösningen blir det såhär:

vet inte om jag gör rätt, ser ju inte ut som något bevis ?

Helt OK (förutom att cirklarna inte tangerar varandra när r = 0,5. Vid vilket värde på r sker det?)

Om du nu tänker dig att du hade förmågan att rita perfekta cirklar, kan du då se framför dig att skärningspunkterna hamnar på just linjen a+ai?

Uppgiften gällde att ta reda på vilka z som uppfyller villkiret, inte att ta fram något bevis.

Vissa uppgifter är lättare att lösa grafiskt och om det inte specifikt efterfrågas en algebraisk lösning så är det en fullgod metod.

Du får själv känna efter vad som passar bäst för dig i olika sammanhang.

Yngve skrev:

lamayo skrev:

Förstår skillnaden nu men när jag ritar den grafiska lösningen blir det såhär:

vet inte om jag gör rätt, ser ju inte ut som något bevis ?

Helt OK (förutom att cirklarna inte tangerar varandra när r = 0,5. Vid vilket värde på r sker det?)

Om du nu tänker dig att du hade förmågan att rita perfekta cirklar, kan du då se framför dig att skärningspunkterna hamnar på just linjen a+ai?

Uppgiften gällde att ta reda på vilka z som uppfyller villkiret, inte att ta fram något bevis.

Vissa uppgifter är lättare att lösa grafiskt och om det inte specifikt efterfrågas en algebraisk lösning så är det en fullgod metod.

Du får själv känna efter vad som passar bäst för dig i olika sammanhang.

r=1?

ja, men känns inte som det är säkert att de ligger där? Men det räcker kanske med att se att de gör det för flera värden på r?

lamayo skrev:

r=1?

ja, men känns inte som det är säkert att de ligger där? Men det räcker kanske med att se att de gör det för flera värden på r?

Nej, inte 1. Se nedan.

Bra att du är skeptisk.

Förslag på alternativ grafisk lösning:

• Markera punkterna i och 1 i det komplexa talplanet och dra en rät linje mellan dessa punkter. 
• Sträckan mellan punkterna har längden $\sqrt{2}$ enligt Pythagoras sats/avståndsformeln. Därför är minsta radien $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
• Tänk dig att denna sträcka består av ett gummiband vars ändar sitter fast i punkterna i och 1 och som kan tänjas ut oändligt mycket.
• Sätt en penna vid mitten av gummibandet. Pennan är nu mitt emellan i och 1 och denna position uppfyller därför villkoret.
• Flytta nu pennan snett uppåt höger så att gummibandet töjs ut. Se till att gummibandet hela tiden har samma längd på båda sidor av pennan. Fortsätt i oändlighet.
• Ta ett nytt tag från startposition och gör samma sak snett neråt vänster.
• Den linje du nu ritar kommer att ha en lutning på 45°, annars skulle gummibandets bäda delar bli olika långa.
• Alla punkter på denna linje uppfyller villkoret och utgör därför lösningsmängden.

Kändes den modellen bättre?

Yngve skrev:

lamayo skrev:

r=1?

ja, men känns inte som det är säkert att de ligger där? Men det räcker kanske med att se att de gör det för flera värden på r?

Nej, inte 1. Se nedan.

Bra att du är skeptisk.

Förslag på alternativ grafisk lösning:

• Markera punkterna i och 1 i det komplexa talplanet och dra en rät linje mellan dessa punkter. 
• Sträckan mellan punkterna har längden $\sqrt{2}$ enligt Pythagoras sats/avståndsformeln. Därför är minsta radien $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
• Tänk dig att denna sträcka består av ett gummiband vars ändar sitter fast i punkterna i och 1 och som kan tänjas ut oändligt mycket.
• Sätt en penna vid mitten av gummibandet. Pennan är nu mitt emellan i och 1 och denna position uppfyller därför villkoret.
• Flytta nu pennan snett uppåt höger så att gummibandet töjs ut. Se till att gummibandet hela tiden har samma längd på båda sidor av pennan. Fortsätt i oändlighet.
• Ta ett nytt tag från startposition och gör samma sak snett neråt vänster.
• Den linje du nu ritar kommer att ha en lutning på 45°, annars skulle gummibandets bäda delar bli olika långa.
• Alla punkter på denna linje uppfyller villkoret och utgör därför lösningsmängden.

Kändes den modellen bättre?

Ja! Vet inte om man visar det såhär?

lamayo skrev:

Ja! Vet inte om man visar det såhär?
[...]

Ja det är snyggt.

Du kan ju komplettera med ett exempel på punkter längs l och visa att deras avstånd är lika,typ såhär:

Om du vill visa det hela lite mer formellt så kan du ju använda en geometrisk betraktelse.

Jag tänker då att du kan använda dig av likbenta trianglar där basen är sträckan mellan 1 och i och där toppvinkelns bisektris sammanfaller med l.

Yngve skrev:

lamayo skrev:

Ja! Vet inte om man visar det såhär?
[...]

Ja det är snyggt.

Du kan ju komplettera med ett exempel på punkter längs l och visa att deras avstånd är lika,typ såhär:

Om du vill visa det hela lite mer formellt så kan du ju använda en geometrisk betraktelse.

Jag tänker då att du kan använda dig av likbenta trianglar där basen är sträckan mellan 1 och i och där toppvinkelns bisektris sammanfaller med l.

Okej! Tack så mycket för hjälpen!