Abs. Konvergens, Konvergens och Divergens

Hej, i boken "Calculus a complete course" kap 9.4 uppgift 5 finns det en uppgift som frågar ifall serierna absolut konvergerar, konvergerar eller divergerar.

Uppgift 5

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} (n^{2} - 1)}{n^{2} + 1}$

Jag ser serien som en alternerande serie på grund av (-1)^n. Jag testade att först köra absolut beloppet av original serien, försummade bort (-1)^n. Tog gränsvärdet utav (n^(2)-1)/(n^(2)+1) vilket gav mig 1.

Min slutsats var då att eftersom att absolut beloppet konvergerar kommer vi få en aboslut konvergens. Men det visade sig vara fel när jag sedan kollade på facit. Svaret är att serien divergerar.

Nu när jag skrivit till hit öppnades några tankar i huvudet, eftersom att absolut beloppet tydligen divergerar så tänkte jag att jag återgår till original serien och kör Alternating Series Test. Steg 1 blir att köra divergenstestet, kör jag gränsvärdet på det kommer jag återigen få 1, vilket inte är lika noll och jag divergerar enligt satsen.

Dock hade jag inte kommit fram till det under en tentamina, eftersom jag var säker på att när jag tog absolut beloppet så konvergerarade jag och skulle alltså inte försökt mig på divergensstatsen.

Min fråga blir därmed, var gjorde jag fel och hur? I framtiden, hur ska jag kunna tänka efter och på vad för att inte upprepa liknande misstag.

Hej,

Täljaren och nämnaren är väldigt lika, så då kan det vara en idé att utnyttja detta. $n^2-1 = (n^2+1)-2$ vilket ger kvoten

$\frac{n^2-1}{n^2+1} = 1-\frac{2}{n^2+1}$

som i sin tur ger serien

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n + 2\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2+1}.$

Den första termen (serien) är inte konvergent och den andra termen (serien) är absolutkonvergent; sammantaget är serien inte konvergent.

Albiki skrev:
Hej,

Täljaren och nämnaren är väldigt lika, så då kan det vara en idé att utnyttja detta. $n^2-1 = (n^2+1)-2$ vilket ger kvoten

$\frac{n^2-1}{n^2+1} = 1-\frac{2}{n^2+1}$

som i sin tur ger serien

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n + 2\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2+1}.$

Den första termen (serien) är inte konvergent och den andra termen (serien) är absolutkonvergent; sammantaget är serien inte konvergent.

Tack för svaret, jag förstod inte riktigt hur du fick fram det att $\frac{n^{2} - 1}{n^{2} + 1} = 1 - \frac{2}{n^{2} + 1}$

Kan vara att algebran inte går riktigt klart i huvudet, du delade upp täljarens termer adderat med varandra, och samma nämnare till båda täljarna?

Skulle man kunnat göra det utan att utnyttja att "täljaren och närmaren är väldigt lika"? Eftersom att jag har t.o.m lite svårt att hänga med det du skrev.

Ja men då förstår jag med serien, eftersom att den divergerande serien "tar med sig" den andra serien, för vi är intresserade av när n går mot oändligheten.

Algebran som behövs är exakt samma som används för att skriva exempelvis

$\frac{5}{7} = \frac{7-2}{7} = 1-\frac{2}{7}$ ,

som jag hoppas att du inte har några problem med.

Följden måste konvergera till 0 för att en serie öht ska ha en chans att vara konvergent. Det gäller alla serier. Om du håller på oändligt länge att plussa ihop stora saker blir det ganska snart oändligt stort.

Förlåt att jag lägger mig i det här, men för att en serie skall konvergera så är ett nödvändigt (om ej tillräckligt)

villkor att termer går mot noll när termnumret går mot oändligheten. I den här serien ser man ju omedelbart

att så inte är fallet. (Ungefär samma sak som sas i föregående inlägg.)

Svara

Visa senaste svar