abs belopp
Hur går man tillväga för att rita grafer med absolutbelopp?
y = I 2x I
Man kan göra en värdetabell
x –3 –2 –1 0 1 2
y 6 4 2 0 2 4
och plotta in punkterna i ett koordinatsystem
Just det. De negativa x-värdena ger egentligen negativa y-värden men eftersom dessa nu står i abs belopp blir de positiva?
Kan man göra liknande för andra grafer som I 2x-8 I ?
Självklart kan du det.
Grafen kan du dela upp i två funktioner så att du får bort absolutbeloppet. Hur ser de ut så?
Hur menar du med att få bort abs beloppet?
Jag skulle bryta ut tvåan
y = 2 |x–4|
om x–4 > 0 så ändras inget
om x–4 < 0 så byter du tecken till –(x–4) = 4–x
tecken
x. 4
y. 4–x. 0. X–4
Ah! Smart!
om x–4 > 0 så ändras inget
om x–4 < 0 så byter du tecken till –(x–4) = 4–x
Tappar dock bort mig här. Vad är det du gör här?
Vad händer när uttrycket är större respektive mindre än 0?
Absolutbelopp har en knepig definition.
|a| = a om a > 0
Det är väl ok. |3| = 3, |10| = 10, |9,81| = 9,81
Men nästa steg
|a| = –a om a < 0
Det är väldigt ointuitivt.
|–3| = 3, det kan man ta till sig. Men definitionen säger alltså
|–3| = –(–3) och det stämmer ju, –(–3) = 3
Varför har man en så krånglig definition. För att det är enklaste sättet att säga ”om värdet innanför absoluttecknet är negativt ska vi byta tecken”.
Om a < 0 så är |a| = –a
Håll med om att det är elegant!
Så du har |x–4|.
x–4 är större ön noll om x större än 4. Prova. Sätt in x = 5 eller 17 så ser du att x–4 är positivt.
Så för x > 4 är y = x–4
Men för x mindre än 4 måste du byta tecken. Då är |x–4| = 4–x.
STort tack för det utförliga svaret!
Upplever dock att jag fortfarande inte förstår hur jag ska få fram dessa
Så för x > 4 är y = x–4
Men för x mindre än 4 måste du byta tecken. Då är |x–4| = 4–x.
Låt oss exemplifiera om vi har I 3x - 5 I
Hur gör man där?
(DÄr kommer x större än eller lika med 2 ge positiva svar, och x mindre än 2 ge negativa)
Tillägg: 29 okt 2023 22:25
naytte
Större ger positiva tal och mindre ger negativa tal. - Om det är det svaret du är ute efter?
Ja exakt. Så då kan du dela upp funktionen i två intervall. Vid ett av intervallen måste du "invertera" funktionen.
Ah! Okej.
Om vi har
I 3x-5 I
Kan alltså detta delas in i
och detta innebär att funktionerna är de som ska ritas upp?
M.a.o 3x-5 (för positiva x) respektive 5-3x? (för negativa x)
naturnatur1 skrev:Om vi har
I 3x-5 I
Kan alltså detta delas in i
och detta innebär att funktionerna är de som ska ritas upp?
Ja.
M.a.o 3x-5 (för positiva x) respektive 5-3x? (för negativa x)
Nästan. Om y = |3x-5| så gäller det att
- y = 3x-5 då 3x-5 0, dvs då x 5/3
- y = 5-3x då 3x-5 < 0, dvs då x < 5/3.
Så,
- Om funktionen y= 3x-5 har ett x-värde som gör att y-värdet blir större än 0 dvs när x är större än 5/3 kommer funktionen att skrivas y=3x-5
- Men om funktionen y=3x-5 istället har ett x-värde som gör att y-värdet blir mindre än 0, dvs när x är mindre än 5/3 kommer funktionen att inverteras (pga absolutbelopp) och bli y=5-3x för att vi ska kunna få våra positiva y-värden?
Tillägg: 29 okt 2023 23:28
Varför behövs dessa intervall och omskrivning av funktionen?
Du undrar varför absolutbelopp behövs.
Det första svaret är att | x–10 | ar ett enkelt sätt att teckna avståndet mellan x och 10.
Att talet x ligger mindre än 2 steg från 10, dvs att 8 < x < 12 kan med absbelopp skrivas
| x–10 | < 2
Ett praktiskt skrivsätt när man vant sig. | x–a | är ett enkelt sätt att skriva ”avståndet mellan x och 10”.
Och om vi har ekv |x–3| = 2x +5 så blir det två ekvationer
x–3 = 2x+5 om x > 3, dvs x = –8, men det gäller inte för –8 < 3
3–x = 2x+5 om x < 3 dvs x = –2/3 som är ok.
En annan tillämpning jag kommer på är att eftersom ”roten ur” ett tal alltid är positivt så kan man skriva (roten ur x2) = |x|.
naturnatur1 skrev:Så,
- Om funktionen y= 3x-5 har ett x-värde som gör att y-värdet blir större än 0 dvs när x är större än 5/3 kommer funktionen att skrivas y=3x-5
- Men om funktionen y=3x-5 istället har ett x-värde som gör att y-värdet blir mindre än 0, dvs när x är mindre än 5/3 kommer funktionen att inverteras (pga absolutbelopp) och bli y=5-3x för att vi ska kunna få våra positiva y-värden?
Tillägg: 29 okt 2023 23:28
Varför behövs dessa intervall och omskrivning av funktionen?
Din sammanfattning stämmer.
Anledningen till att man gör denna omskrivning är för att man själv enklare ska kunna grafa funktionen. För det är ju inte helt uppenbart hur man skulle grafa den om man bara tittar på absolutbeloppet. Men absolut, om du kan det, talar ju inget emot att grafa direkt från absolutbeloppet. Men just vid lite komplexare funktioner kan det vara bra att dela upp den i intervall.
Låt säga att du får en funktion , och du ska bestämma samtliga asymptoter. Hur skulle du göra det utan omskrivning då?
Tack för era svar.
naytte,
En asymptot är
x = 1
Sedan kommer jag fram till att när x är positivt så blir funktionen
Ska denna nu delas upp för att se vilken som dominerar och går mot +- oändlighet? Blir dock osäker kring fortsättningen (uppdelningen, om den nu ska göras) och sen förmodligen en annan funktion?
Du behöver inte lösa själva uppgiften om du inte vill, poängen var bara att det är bra att göra en uppdelning av funktioner för att bli av med absolutbeloppet, annars blir det krångligt.
Du kan förslagsvis använda polynomdivision för att få fram den sneda asymptoten när .
Jo men jag löser gärna den, tror jag lär mig bättre då (:
Vi har inte gått igenom polynomdivision dock.
Jag vet tyvärr inte hur man skulle göra utan polynomdivision. Det är bara att läsa på (det är inte så svårt).
Men poängen i det här sammanhanget var i alla fall att man skulle göra omskrivningen:
för annars går det inte att lösa uppgiften.
naytte skrev:Jag vet tyvärr inte hur man skulle göra utan polynomdivision. Det är bara att läsa på (det är inte så svårt).
Men poängen i det här sammanhanget var i alla fall att man skulle göra omskrivningen:
för annars går det inte att lösa uppgiften.
Tack, får återkomma till detta då lite senare
