Kombinatorik
Hej! Jag behöver hjälp med denna uppgift
"längst ett bord finns fem stolar. Fem personer, A-E, sätter sig slumpmässigt på stolarna. Hur stor är sannolikheten att A och B hamnar bredvid varandra?"
Jag har fått fram att A och B kan sätta sig bredvid varandra på 8 olika sätt. Men vet ej hur jag ska fortsätta på ränkningen...
Det står i facit att svaret är 40% , men hur kommer man fram till det?
Tips: Rita en bild!
Här finns en tråd som berör samma uppgift: https://www.pluggakuten.se/trad/problemlosning-445/
Om vi utgår från någon i årskurs 8 så kan jag tänka mig att lösningen skulle kunna gå till så här:
1) Hur många möjliga fall har vi totalt? Vi sätter A på stol 1 och B på stol 2 allra först.
ABCDE C på tredje stolen
ABCED ger två fall.
ABDCE D på tredje stolen
ABDEC ger ytterligare två fall.
ABECD Sist E på tredje stolen
ABEDC ger även det två fall.
Vi har fått 6 fall med A och B på stol 1.
Vi kan sedan sätta A på stol 1 och C på stol 2.
ACBDE På precis samma sätt som ovan
ACBED får vi två fall av varje.
Så vi får 6 fall till.
Därefter gör vi lika med A på stol 1 och D på stol 2 och får 6 fall till.
Sist A på stol 1 och E på stol 2 som ger 6 fall till.
Vi har nu 4 gånger 6 fall = 24 fall totalt med A på första stolen.
Eftersom vi kan göra lika med B på första plats så får vi 24 fall till.
Plus att vi kan göra lika för C,D och E.
Då får vi totalt 5 gånger 24 = 120 fall.
Känner man till att vi kan få reda på det totala antalet med
1*2*3*4*5 = 120 så är ju det lättare, men kanske inte så många i 8:e klass har kännedom om det?
2) Nu ska vi ta reda på antalet gynnsamma fall där A och B sitter bredvid varandra.
Om vi tittar på vårt exempel ovan så sitter A och B bredvid varandra bara i de 6 första fallen, men vi kan också skifta deras platser och få sex fall till. Alltså 12 fall.
Om vi sedan placerar A på stol 2 och B på stol 3 så här:
CABDE
CABED
DABCE
DABEC
EABCD
EABDC
Då fick vi sex fall till och samma här vi kan vända på A och B och få sex till. Då har vi 12 fall här med.
Därefter kan vi placera A på stol 3 och B på stol 4 och få 12 fall till.
Sist A på stol 4 och B på stol 5 och få ytterligare 12 fall.
Antalet gynnsamma fall där de sitter bredvid varandra är då 4 * 12 = 48 fall.
3) Vi kan nu använda formeln
Sannolikheten för en viss händelse = antal gynnsamma fall / antal möjliga fall.
Sannolikheten = 48 / 120. Vilket ger svaret 40%.
