A och B (Matematik/Universitet)

Matrismultiplikation fungerar inte så. Produktmatrisen AB består av skalärprodukter mellan rader i A och kolumner i B. Din bok har säkert något exempel.

https://www.youtube.com/watch?v=BD3SOIpGFpg&ab_channel=Bj%C3%B6rnRunow%E2%80%93MatteBj%C3%B6rn

Såhär multiplicerar man matriser

Är a och b rätt? Och hur fortsätter jag på c? Kan jag flytta över den matrisen till HL och byta tecken?

Ja, både a) och b) ser rätt ut. Snyggt! I c)-uppgiften borde du försöka faktorisera ut X. Tänk på att matriser inte är associativa, dvs att AB inte är lika med BA (förutom i undantagsfall såklart).

Edit: råkade skriva A istället för X.

Tillägg: 9 jun 2023 09:22

Nu var det jag som tänkte lite fel här, se inlägg #7!

b) löser man enklast genom att multiplicera båda sidor med $A^{- 1}$

c) löser man genom att:

flytta alla $x$ till vänsterledet
slå samman alla multiplar av $x$ , (d.v.s låt $A x - x = (A - I) x = C x$ )
multiplicera båda sidor med $C^{- 1}$

feber01 skrev:
Ja, både a) och b) ser rätt ut. Snyggt! I c)-uppgiften borde du försöka faktorisera ut X. Tänk på att matriser inte är associativa, dvs att AB inte är lika med BA (förutom i undantagsfall såklart).

Edit: råkade skriva A istället för X.

Det är kommutativ som matrismultiplikationen inte är. Associativ är den, alltså (AB)C = A(BC).

Laguna skrev:
feber01 skrev:
Ja, både a) och b) ser rätt ut. Snyggt! I c)-uppgiften borde du försöka faktorisera ut X. Tänk på att matriser inte är associativa, dvs att AB inte är lika med BA (förutom i undantagsfall såklart).

Edit: råkade skriva A istället för X.

Det är kommutativ som matrismultiplikationen inte är. Associativ är den, alltså (AB)C = A(BC).

Jo, så är det ju. Tack för rättelsen!

Kan du visa hur jag gör med x på c? Ax-x=AB? och hur gör jag sen?

Ja, om AX-X=AB så måste vi bryta ut X i VL. Med hjälp av enhetsmatrisen I så gäller det att

AX-X=(A-I)X

Kom ihåg att enhetsmatrisen liksom är matrisernas motsvarighet till ”en etta”, varför vi kan bryta ut X på sådant vis. (Uppenbarligen är enhetsmatrisen av andra ordningen, precis som A). Kommer du vidare härifrån?

Nej kan du visa lite till

Vad är det du inte förstår? Hur tänker du själv att vi kan gå vidare härifrån?

Jag förstår inte hur jag gör med 1 inuti parantesen och sen x utanför

A vet jag ju och AB räknade jag ut i a

Det är inte en etta innanför parentesen, utan det är enhetsmatrisen:

$I = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$

Men även om enhetsmatrisen I (stort i) inte är en etta så kan vi säga att den i matrisvärlden lite fungerar som en etta. T.ex. gäller det ju för ett tal a att 1×a=a×1=a. För en matris A gäller det, på motsvarande sätt, att I×A=A×I=A. Därför fungerar det att bryta ut X så som vi gjorde förut.

Så ekvationen är alltså (A-I)X=AB

Hur löser vi ut X härifrån? Om vi hade jobbat med tal istället för matriser så hade vi ju bara dividerat båda leden med det som är innanför parentesen, ellerhur? Det kan vi tyvärr inte göra när det kommer till matriser. Men, precis som med tal, så kan vi multiplicera med inverser för att bli av med en produkt. Så hur blir vi då av med produkten (A-I) i VL?

Såhär?

Nja, nu har du ju bara uttryckt A, B och I.

Vi låtsas som att man kan dividera matriser med varandra (vilket man ju inte kan!) och ser hur vi isåfall löser din ekvation:

$(A - I) X = A B \Leftrightarrow X = \frac{A B}{A - I}$

Det här känns ju ganska logiskt. Det är ju så vi hade gjort om A, B och X var tal och inte matriser. Tyvärr får vi ju däremot inte dividera matriser med varandra, så som vi precis gjorde. Men kolla vad som händer om vi skriver om uttrycket för X ytterligare:

$X = \frac{A B}{A - I} = A B \times \frac{1}{A - I} = A B \times {(A - I)}^{- 1}$

Vi behöver alltså inte fuska och dividera med (A-I), utan det räcker med att vi multiplicerar med (A-I)^-1.

För om vi har en matris M så gäller följande:

$M \times M^{- 1} = M^{- 1} \times M = I$

Så om vi hittar en invers till (A-I) i din ekvation, och multiplicerar båda leden med den, så händer detta:

$(A - I) X = A B \Leftrightarrow {(A - I)}^{- 1} \times (A - I) \times X = {(A - I)}^{- 1} \times A B \Leftrightarrow I \times X = {(A - I)}^{- 1} \times A B \Leftrightarrow X = {(A - I)}^{- 1} \times A B$

Så jag ska lösa x= (A-I)^-1 * AB?

kan du visa hur man gör de? Blir så förvirrad med -1

Har du försökt själv? Vad står det i din kurslitteratur om inverser och hur man bestämmer dessa? Och förstår du mina tidigare resonemang såhär långt?

Är detta en inlämning eller är det bara en övningsuppgift?

Det är en övningsuppgifter från ett gammalt prov som jag inte har facit till. Ja jag har försökt men kommer inte vidarw

Jag råkar veta att exakt den här frågan ingår i en inlämningsuppgift på Hermods och jag känner mig därför inte helt bekväm med att skriva nästa steg rakt ut. Sedan är det framförallt också så att om det enda jag tillför är att ge dig nästa steg i ett lösningsförslag så får du ju till sist rätt svar utan att du i praktiken behöver ha gjort någonting själv. Jag kan absolut hjälpa dig och knuffa dig i rätt riktning men då gäller det att du själv också är med på banan.

Hur har du försökt och vad står det i din kurslitteratur om inverser? Har du förstått mina tidigare resonemang, alltså, varför det fungerar att skriva om ekvationen såsom vi gjorde förut?