A har rang n <=> inverterbar matris A
Håller på att bevisa egenskaper för inverterbara matriser men fastnade på en av de där jag ska bevisa att A har rang n är ekvivalent med att matris A är inverterbar.
Jag har inte kommit någonstans direkt utan bara antagit att A är inverterbar och är en n*n matris och då gäller att . Vi vill visa att det maximala antalet linjärt oberoende kolonner i A är n.
Tacksam för hjälp!!
Det finns flera definitioner av rang och beviset är olika svårt att fullfölja beroende på vilken man utgår från. Jag undra därmed om du kunde lista de olika (ekvivalenta) definitionerna av rang eller full rang som du känner till.
- Om en matris har full rang (samma rang som dimension) så är alla kolumnerna linjärt oberoende.
Finns det fler?
En bevisteknik man kan försöka tillämpa är motsägelsebevis. Anta att matrisen inte har full rang och se om det är kompatibelt med inverterbarhet.
Får vi använda rank-nullity-satsen så vet vi exempelvis att rank(A) + Null(A) = n och att full rank alltså medför att det inte finns några nollskilda vektorer v sådana att Av = 0 så motsägelsebeviset kan exempelvis utgår från att undersöka vad som skulle behöva gälla om det fanns en vektor v (nollskild) sådana att Av = 0 och om det är kompatibelt med inverterbarhet.
En utmaning kan vara att forma olika motsägelsebevis utifrån olika definitioner av rang.
SeriousCephalopod skrev:Det finns flera definitioner av rang och beviset är olika svårt att fullfölja beroende på vilken man utgår från. Jag undra därmed om du kunde lista de olika (ekvivalenta) definitionerna av rang eller full rang som du känner till.
- Om en matris har full rang (samma rang som dimension) så är alla kolumnerna linjärt oberoende.
Finns det fler?
En bevisteknik man kan försöka tillämpa är motsägelsebevis. Anta att matrisen inte har full rang och se om det är kompatibelt med inverterbarhet.
Får vi använda rank-nullity-satsen så vet vi exempelvis att rank(A) + Null(A) = n och att full rank alltså medför att det inte finns några nollskilda vektorer v sådana att Av = 0 så motsägelsebeviset kan exempelvis utgår från att undersöka vad som skulle behöva gälla om det fanns en vektor v (nollskild) sådana att Av = 0 och om det är kompatibelt med inverterbarhet.
En utmaning kan vara att forma olika motsägelsebevis utifrån olika definitioner av rang.
Tack så mycket!! fixade det :)
