a-fråga np vt 15, derivata

Hej.

Meningen är att du ska tolka det givna gränsvärdet som värdet av en viss derivatafunktion vid ett specifikt x-värde.

Du är redan svaret på spåret.

Yngve skrev:

Hej.

Meningen är att du ska tolka det givna gränsvärdet som värdet av en viss derivatafunktion vid ett specifikt x-värde.

Du är redan svaret på spåret.

hej, jättetacksam för svar! men nu blev jag lite förvirrad... tolka det givna gränsvärdet som värdet av en viss derivatafunktion vid x = h (?), men sedan går x mot noll, om f'(0) är ju i för sig rätt alltså $\ln \left(3\right)$, men hur motiverar jag det? 

Tips: Differenskvoten vid derivatans h-definition är $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Hur ser den ut om $x=0$?

Yngve skrev:

Tips: Differenskvoten vid derivatans h-definition är $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Hur ser den ut om $x=0$?

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = 3^x \\ \frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}= f\text{'}\left(x\right) \\ \frac{3^h-1}{h}= 3 \times \ln \left(3\right) \end{gathered}$$

hmm fortfarande osäker

soobin skrev:

Yngve skrev:

Tips: Differenskvoten vid derivatans h-definition är $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Hur ser den ut om $x=0$?

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = 3^x \\ \frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}= f\text{'}\left(x\right) \\ \frac{3^h-1}{h}= 3 \times \ln \left(3\right) \end{gathered}$$

hmm fortfarande osäker

Tänk dig att derivatan av ett x-värde i grafen 3^x är lika stor som $\frac{3^h-1}{h}$.

Hej,

Uppgiften är krånligt formulerad. 

De vill att du ska inse att de söker efter derivatan i punkten x=0.

Sedan ska du själv derivera funktionen med hjälp av deriveringsregler (inte derivatans definition) och få ut ett svar för den allmänna derivatan. 

Sätt x=0 i den allmänna derivatan så får du ut svaret (som blir exakt).

soobin skrev:

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = 3^x \\ \frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}= f\text{'}\left(x\right) \\ \frac{3^h-1}{h}= 3 \times \ln \left(3\right) \end{gathered}$$

hmm fortfarande osäker

Ja, eftersom täljarens första term $3^h$  kan skrivas som $3^{0+h}$ och den andra termen $1$ kan skrivas som $3^0$ så kan differenskvoten skrivas som $\frac{3^{0+h}-3^0}{h}$, vilket är lika med $\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$, där $f(x)=3^x$.

Det betyder att gränsvärdet är lika med $f'(0)$.

Eftersom $f(x)=3^x$ så är $f'(x)=3^x\cdot\ln(3)$, vilket ger att $f'(0)=3^0\cdot\ln(3)=\ln(3)$

Hängde du med?

yess då så, tack för svaren!

Mesopotamia skrev:

Hej,

Uppgiften är krånligt formulerad. 

De vill att du ska inse att de söker efter derivatan i punkten x=0.

Sedan ska du själv derivera funktionen med hjälp av deriveringsregler (inte derivatans definition) och få ut ett svar för den allmänna derivatan. 

Sätt x=0 i den allmänna derivatan så får du ut svaret (som blir exakt).

hej tack för förklaringen!! är det eftersom h går mot noll som man ska räkna derivatan då x =0? tack!

Nej. 

h går mot 0 för att sekantens lutning ska komma närmare funktionens i den punkten.

Om du använder derivatans definition och skriver upp gränsvärdet ser du att exponenten kommer vara x+h, medan de har gett dig att den i punkten är h.

x + h=h, alltså är x=0.

Mesopotamia skrev:

Nej. 

h går mot 0 för att sekantens lutning ska komma närmare funktionens i den punkten.

Om du använder derivatans definition och skriver upp gränsvärdet ser du att exponenten kommer vara x+h, medan de har gett dig att den i punkten är h.

x + h=h, alltså är x=0.

👍 tack igen!

Ingen orsak, lycka till imorgon!