7.16 harmoniska svängningar

Här gäller det att hålla tungan rätt i mun. Den formeln du skriver upp är ju formeln för den sammanlagda energin hos den harmoniska oscillatorn (d.v.s. rörelseenergi plus lägesenergi). Amplituden $A$ är ju konstant (det är den maximala elongationen i svängningen), och här kan man inte sätta in vilken annan elongation som helst.

Sedan finns det en annan formel som anger den potentiella energin i fjädern och lyder

$E_p=\dfrac{k\cdot x^2}{2}$

(notera här att $x$ är en någorlunda godtycklig förlängning av fjädern, men den måste mätas från noll förlängning). Denna formel kan tyckas användbar i vårt fall, men den kräver att sträckan $x$ vi stoppar in mäts från noll förlängning, och så är ju inte fallet med sträckan $y$ (fjädern är ju förlängd redan innan vi drar i den, eftersom massan hänger i den!).

Det slutar med att vi tvingas använda oss av ett medelkraftsresonemang, som beskrivs i facit.

Så om man har A i formeln istället för x så blir det problematiskt i och med att formeln då beskriver den sammanlagda energin (potentiell energi+ rörelseenergi). Och man kan inte använda den formeln då det sträckan y inte är amplituden,?  Men hur kommer man fram till formeln i facit?

Just det. Formeln $k\cdot A^2/2$ är mycket riktigt den sammanlagda energin hos fjädersystem. Det finns även en annan (snarlik!) formel $k\cdot x^2/2$ som kan ange den potentiella energin i fjädern, men den går inte heller att använda i detta fall eftersom förlängningen inte är mätt från noll energi (som jag sa i mitt förra inlägg).

Vad vi istället måste göra är att försöka beräkna arbetet som uträttas med formeln $W=F\cdot s$. Kraften är emellertid inte konstant, utan ökar linjärt med fjäderns förlängning. Därför måste vi använda oss av medelkraft. När massan hänger i fjädern är det hela i jämvikt, så kraften i fjädern måste då vara lika stor som tyngdkraften, d.v.s. $mg$.

När vi sedan drar ned sträckan $y$ ökar ju kraften med $ky$ enligt Hookes lag (förändring i kraft = fjäderkonstant * förändring i utsträckning), så att kraften när vi dragit hela sträckan $y$ blir $mg+ky$. Medelkraften blir då:

$\bar{F}=\dfrac{mg+mg+ky}{2}=\dfrac{2mg+ky}{2}=mg+ky/2$.

Sätter vi sedan in i formeln $W=F\cdot s$ fås ju

$W=\bar{F}\cdot y=(mg+ky/2)y$.

Alltså uträttas arbetet $(mg+ky/2)y$ när massan dras nedåt sträckan $y$. Detta arbete motsvarar ändringen i fjäderns energi.

Varför blir det 2st mg? och hur vet man att tiden är 2? (visst är det därför man delar på 2?).  Brukar arbete betraktas som potentiell energi? kommer ihåg att det kunde betraktas som någon typ av energi då enheten blev joule?

Nja, det har faktiskt inget med tid att göra. Medelvärdet av två tal $a$ och $b$ är ju $(a+b)/2$.

På samma sätt är medelvärdet av två krafter $F_1$ och $F_2$

$\bar{F}=\dfrac{F_1+F_2}{2}$

I vårt fall är $F_1=mg$ och $F_2=mg+ky$, och vi får

$\bar{F}=\dfrac{mg+mg+ky}{2}=mg+ky/2$

Blev det klarare?

Angående arbetet: arbete är ju en förändring i energi. Det varierar från fall till fall vad det faktiskt är som förändras när ett arbete uträttas, men i det här fallet kan vi ju konstatera att den potentiella energin i fjädern måste bli högre eftersom vi drar ut fjädern. Fjäderns potentiella energi måste alltså öka med arbetet $W$ (notera att både arbete och energi mäts i SI-enheten joule).

Tack så jättemycket, tror jag förstår nu :)