6209, triangelsatserna
Hur ska jag lösa uppgiften? Jag förstår inte varför min lösning blir fel, för när jag tar sin48 gånger 72 får jag att bc är större än hela triangeln omkrets, vilket är helt orimligt
det enda sättet att lösa uppgiften som jag hitta var att beskriva sambanden för area och omkrets till en andragradsekvation för att sen lösa den med pq-formeln.
Omkrets 49, en sida är 21,5.
Låt de övriga sidorna vara a och b = 27,5–a
Använd Herons formel (mycket användbar, tyvärr försummad nuförtiden):
Om triangelns sidor är a,b,c och halva omkretsen är s, så är arean
A = sqr[s(s–a)(s–b)(s–c)]
Halva omkretsen är 24,5. Vi får
36 = sqr[24,5 x 3 x (24,5–a)(a–3)]
Kvadrera och förenkla:
1296/73,5 = –a2 + 27,5a – 73,5
…
a1 ≈ 23,646
a2 ≈ 3,854 (= b)
Det intressanta här är att Diazefams lösning (21,5; 23,35; 4,15) ger fel area. Herons formel ger arean 41,47 och inte 36.
Min tro är att Diazefam räknat rätt. Du har använt vinkeln 48°, vilket jag inte har.
Problemet är att vinkeln inte kan vara 48° om arean ska vara 36. När jag sätter in mina sidor i cosinussatsen får jag att vinkeln är över 52°. Så om jag räknat korrekt är uppgiften tveksam.
Ja, om man tänker sig att man antar ett värde på a (basen) så är resten entydigt bestämt: sidan b, omkretsen och arean. Det går inte att sätta ett värde på a så att både omkretsen och arean blir det angivna.
Undrar hur de satte ihop uppgiften. Bara tog tal ur tomma luften kanske.
Vad gäller trådskaparens fråga, om att produkten ab är större än omkretsen: det är inget problem, det är inte meningsfullt att jämföra en produkt av två sträckor med bara en sträcka. Relationen mellan dessa uttryck beror på vilken enhet man har använt.
Undrar också varför ingen såg denna tråd när den skrevs.
Laguna skrev:…
Undrar hur de satte ihop uppgiften. Bara tog tal ur tomma luften kanske.
…
Undrar också varför ingen såg denna tråd när den skrevs.
Ja hur uppgiften satts ihop kan man undra. Fast fler än jag har väl någon gång i tidsnöd formulerat provuppgifter som ”Bestäm vinklarna i en triangel med sidorna 5, 6 och 13”, med tanken ”jag löser det sen”.
Uppgiften har uppenbarligen haft en osynlighetsförtrollning som hävdes av nyårsklockorna.
Jag kom också fram till att det inte finns en sådan triangel, se nedan.
Jag har inte kollräknat detta men jag misstänker att man kan välja mellan tre problem. Bestäm a och b om
(1) Omkretsen är 49 och vinkeln 48°.
(2) Omkretsen är 49 och arean är 36.
(3) Vinkeln är 48° och arean 36.
För att lösa (1) skulle jag använda cosinussatsen med sidorna 21,5 samt a och 27,5–a.
(2) löste jag i natt med Herons formel.
(3) känns knepigast. Vi har (ab/2) sin48° = 36, så b = 72/(a sin48°). Med cosinussatsen kan vi få en ekvation i a, men den ser ut att bli av fjärde graden. Kanske kan man komma runt detta, men i så fall skulle jag testa med en triangel som har bekvämare mått.
