6 grads polynom

Ett sjättegradspolynom kan alltid skrivas på formen $p\left(x\right)=a{x}^6+b{x}^5+c{x}^4+d{x}^3+e{x}^2+fx+g$, där a är nollskilt. Prova att rita upp några olika polynom, hur många nollställen har de? :)

Se om du kan hitta något med färre nollställen än
$y=(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)={(x-1)}^6=x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1$

Som såklart bara har ett nollställe (x=1).

Jag förstår inte, varför skriver ni det i faktor form?

joculator skrev:

Se om du kan hitta något med färre nollställen än
$y=(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)={(x-1)}^6=x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1$

Som såklart bara har ett nollställe (x=1).

Det går väll inte att ha ett mindre nollställe än 1? Går det att ha 0?

Bra tanke. Pröva!

Kan du hitta ett sådant polynom?

=======

Tips: x⁶-3 är ett exempel på ett sjättegradspolynom.

Hur prövar man det? sätter in x=0?

Ja det är en bra ide.

Om polynomet är p(x) = x⁶-3 och du tittar på värdet vid x = 0 så är der p(0) = 0⁶-3 = -3, dvs p(0) < 0. Men om du tittar på värdet då x = 2 så är p(2) = 2⁶-3 = 64-3 = 61, dvs p(2) > 0. Mellan dessa x-koordinater måste det finnas ett nollställe, är du med på det?

Men kan du komma på något polynom vars graf ligger helt och hållet över (eller under) x-axeln?