4350 ma4 origo

Generellt gäller att arean mellan två kurvor är lika med integralen av ("övre" funktionen minus "undre" funktionen).

Om vi börjar med a-uppgiften så ser du att det är en "övre" funktion i en del av intervallet och en annan "övre" funktion i en annan del av intervallet.

Om du delar upp intervallet i två delar så kan du enkelt areaberäkna varje del för sig, se bild.

(Den ena delen är en triangel, så den behöver du inte ens en integral för att areaberäkna.)

Det blir bara fel

Titta i bilden. I området -2 till -1 är 2-x^2 övre funktion men du har fel undre funktion. Ta en punkt i den övre funktionen och gå rakt nedåt, då ser du vilken funktion du stöter på.

I intervallet x=-2 till x=-1 är den undre funktionen y=x och övre funktionen y=2-x^2 visst är det så?

Ja det sämmer

Jag förstår inte. Är A1 det område som begränsa mellan x=-2 till x=-1 eller är det från x=-2 till x=0? 

För när jag räknar mellan x=-2 till x=-1 då får jag rätt svar som stämmer överens med facit 

A₁ är det område jag har omgivit med röd färg här:

Jag föreslog att du skulle dela upp A₁ i två delar och areaberäkna varje del för ssig.

Okej. Området som begränsas mellan x=-1 och x=0 har arean -1 enligt min uträkning men det känns orimligt 

Är resultatet -1 rimligt?

Nej det är orimligt men jag vet inte vart felet är 

Vilken funktion är överfunktion? Underfunktion? Lägg en linjal parallell med y-axeln och titta.

(Kan också beräknas som arean av en triangel men bra övning hitta över- och underfunktion).

Katarina149 skrev:

Nej det är orimligt men jag vet inte vart felet är 

Titta igenom din uträkning.

Använd gärna "vitt A4-papper"- metoden.

Ta inte för stora tankesteg i taget. 

Tror att det blev rätt nu 

Det blir inte rätt 

Det var ju inte den integralen som blev fel.

Jag hittar inte felet 

Du verkar ha beräknat halva A2 (på ett korrekt sätt).
Jag trodde du skulle göra klart A1.

Ta ett steg tillbaka. Titta på varje intervall för sig. Bestäm över- och underfunktion genom att lägga en linjal parallellt med y-axeln. Börja med intervallet A1 och x=-2 till x=-1 om det inte var klart.
Ta sen -1 till 0, den arean du fick till -1.
Och så vidare.

Katarina149 skrev:

Jag hittar inte felet 

Nu pratar jag om integralen från -1 till 0.

Gör om uträkningen.

Ta mycket mycket mindre tankesteg och skriv upp alla beräkningssteg.

Visa oss din uträkning.

Tips - din över- och underfunktion är rätt, integralen är rätt uttryckt men du gör ett enkelt misstag i beräkningen av integralen.

Jag har skrivit vart jag fastnar och vart det blir fel 

Det är rätt fram till pilen. Men hur ser nästa steg ut?

Vad är uttryckets värde när du sätter in övre gränsen x = 0?

Vad är uttryckets värde när du sätter in undre gränsen x = -1?

Minus ett är ju orimligt och 0 går jag när sätter in x=0

Skriv ut insättningen av båda gränserna, även övre gränsen 0 fast den blir 0, så blir det tydligt.

Integralens värde är F(0) - F(-1), där F(x) är den primitiva funktionen.

Ser du då vad du har gjort fel?

Och förstår du varför du gjorde del felet?

Okej nu ser jag felet då får jag att arean är 1 ae 

ska jag nu addera (7/6 ae) + 6/6 ae = 13/6 ae 

OK bra.

Förstår du även varför du gjorde det felet och hur du ska göra för att undvika liknande fel?

=======

Ja, A₁ blir 13/6 a.e.

Jag är inte riktigt säker på om jag förstod vad för fel jag gjorde . Skulle du kunna förklara felet?

Du tänkte troligtvis att den primitiva funktionens värde F(x) vid övre gränsen är lika med 0, så du "tänkte bort" F(0).

Problemet var att du då även "tänkte bort" minustecknet mellan detta värde och den primitiva funktionens värde vid undre gränsen.

Dvs du tänkte att integralens värde är F(-1) när det i själva verket ska vara F(0) - F(-1)

Orsaken var troligen att du gjorde för många "förenklingar" i huvudet och att du inte skrev ner alla beräkningssteg.

Ska man alltid ta F(0)-F(-1) om man skulle få samma integrationsgräns i en liknande fråga?

Ja, du ska alltid göra så.

Det gäller alltid att $\int_{a}^{b}f(x)\operatorname dx=F(b)-F(a)$, där $F(x)$ är en primitiv funktion till $f(x)$.

Det här är inget specialfall eller något konstigt, utan helt enkelt så man beräknar värdet av en integral.

Okej jag ska alltså tänka på att 0 är större än -1 därför bör jag räkna med att 0 är den övre integrationsgränsen och -1 den undre integrationsgränsen 

Det här är ingen skillnad mot alla andra integraler du beräknar. F(b) - F(a) gäller alltid, oavsett vad a och b har för värden.