16 svar
282 visningar
qole 68 – Fd. Medlem
Postad: 19 okt 2020 16:58

3 st arctan

Förenkla:

Arctan2 + arctan3 + arctan 4

jag tänkte:

arctan2 + arctan 3 = v .... fick fram att tanv = -1

vad gör jag sen? 

Dr. G 9479
Postad: 19 okt 2020 17:09 Redigerad: 19 okt 2020 17:11

Prova att använda summaformeln för tangens.

T.ex är

arctan(2) + arctan(3) = arctan(tan(arctan(2) + arctan(3)))

tan(A + B) = ...

EDIT: vilket du kanske hade gjort? Använd den igen med den sista termen. 

joculator 5289 – F.d. Moderator
Postad: 19 okt 2020 17:18

arctan(a)+arctan(b)=arctan(a+b1-ab)  

Inte alla steg men det kanske hjälper:  arctan(2)+arctan(3)+arctan(4)=arctan(-1)+arctan(4)=arctan(35)   Tänk på perioden

oneplusone2 567
Postad: 19 okt 2020 18:34

joculator har ett fiffigt sätt. hens formel ser lite märklig ut men det är i princip en omformulering av den vanliga tan(a+b)

oneplusone2 567
Postad: 19 okt 2020 18:46

tan(a+p)=tana+tanp1-tanatanpp=b+ctan(a+b+c)=tana+tan(b+c)1-tanatan(b+c)expandera  tan(b+c) som vanligt. Förenkla.tan(a+b+c)=tana+tanb+tanc-tanatanbtanc1-tanatanb-tanatanc-tanbtanca=arctan2tana=2b=arctan3tanb=3c=arctan4tanc=4tan(a+b+c)=2+3+4-2*3*41-2*3-2*4-2*4=35arctan[tan(a+b+c)]=arctan(35)a+b+c=arctan(35)arctan2+arctan3+arctan4=arctan(35)

joculator 5289 – F.d. Moderator
Postad: 19 okt 2020 20:24

Tack! Alltid kul att se en annan lösning.

 

Jag tycker mitt sätt var enklare/renare, men det beror på att formeln  arctan(a)+arctan(b)=arctan(a+b1-ab)      finns med i min formelsamling. Så jag kunde slå upp den.

 

Din lösning använder   tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)   som jag också kan slå upp i formelsamlingen. 

 

Men om din formel är 'vanligare' är det bättre att kunna den, man kan ju inte lära sig alla utantill.  Som sagt, tack.

qole 68 – Fd. Medlem
Postad: 19 okt 2020 20:34
oneplusone2 skrev:

tan(a+p)=tana+tanp1-tanatanpp=b+ctan(a+b+c)=tana+tan(b+c)1-tanatan(b+c)expandera  tan(b+c) som vanligt. Förenkla.tan(a+b+c)=tana+tanb+tanc-tanatanbtanc1-tanatanb-tanatanc-tanbtanca=arctan2tana=2b=arctan3tanb=3c=arctan4tanc=4tan(a+b+c)=2+3+4-2*3*41-2*3-2*4-2*4=35arctan[tan(a+b+c)]=arctan(35)a+b+c=arctan(35)arctan2+arctan3+arctan4=arctan(35)

vilken period??

varför är det + pi på slutet ? 

qole 68 – Fd. Medlem
Postad: 19 okt 2020 20:37
joculator skrev:

Tack! Alltid kul att se en annan lösning.

 

Jag tycker mitt sätt var enklare/renare, men det beror på att formeln  arctan(a)+arctan(b)=arctan(a+b1-ab)      finns med i min formelsamling. Så jag kunde slå upp den.

 

Din lösning använder   tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)   som jag också kan slå upp i formelsamlingen. 

 

Men om din formel är 'vanligare' är det bättre att kunna den, man kan ju inte lära sig alla utantill.  Som sagt, tack.

+pi på slutet. Varför? 

x=3/5 ligger ju mellan 0<x<pi/2

oneplusone2 567
Postad: 19 okt 2020 20:38 Redigerad: 19 okt 2020 20:39

min tanke är att din formel är baserad på den vanliga tan(a+b)

tan(x+y)=tanx+tany1-tanxtanya=tanxarctan(a)=xb=tanyarctan(b)=ytan(x+y)=a+b1-abarctan(tan(x+y))=arctan(a+b1-ab)x+y=arctan(a+b1-ab)arctan(a)+arctan(b)=arctan(a+b1-ab)

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 19 okt 2020 20:41 Redigerad: 19 okt 2020 20:56

Hej,

Du vill veta summan av tre vinklar u+v+wu+v+w där tanu=2\tan u=2 och tanv=3\tan v=3 samt tanw=4.\tan w=4.

    tan(u+v+w)=tan(u+v)+tanw1-tan(u+v)tanw=tanu+tanv1-tanutanv+41-4tanu+tanv1-tanutanv=2+31-6+41-42+31-6=35.\tan (u+v+w) = \frac{\tan(u+v)+\tan w}{1-\tan(u+v)\tan w} = \frac{\frac{\tan u+\tan v}{1-\tan u\tan v}+4}{1-4\frac{\tan u+\tan v}{1-\tan u \tan v}} = \frac{\frac{2+3}{1-6}+4}{1-4\frac{2+3}{1-6}}=\frac{3}{5}.

Det sökta svaret är därför u+v+w=arctan35u+v+w=\arctan \frac{3}{5}.

Notera att det finns flera vinklar xx vars tangensvärde är 3/53/5, eftersom tangensfunktionen är periodisk med perioden π.\pi. Om tanx=3/5\tan x=3/5 så är även tan(x+n·π)=3/5\tan(x+n\cdot \pi)=3/5 där n.n\in\mathbb{Z}.

Det korrekta svaret är därför

    u+v+w=arctan35+n·πu+v+w=\arctan \frac{3}{5} + n\cdot \pi

för något  n.n\in\mathbb{Z}. För att ta reda på heltalet nn måste man känna till att u60°u\approx 60^\circ och v70°v\approx 70^\circ samt w80°w\approx 80^\circ vilket ger u+v+w210°u+v+w\approx 210^\circ och motsvarar n=1n=1 så att

    u+v+w=arctan35+π.u+v+w=\arctan \frac{3}{5}+\pi.

oneplusone2 567
Postad: 19 okt 2020 20:42
qole skrev:
oneplusone2 skrev:

tan(a+p)=tana+tanp1-tanatanpp=b+ctan(a+b+c)=tana+tan(b+c)1-tanatan(b+c)expandera  tan(b+c) som vanligt. Förenkla.tan(a+b+c)=tana+tanb+tanc-tanatanbtanc1-tanatanb-tanatanc-tanbtanca=arctan2tana=2b=arctan3tanb=3c=arctan4tanc=4tan(a+b+c)=2+3+4-2*3*41-2*3-2*4-2*4=35arctan[tan(a+b+c)]=arctan(35)a+b+c=arctan(35)arctan2+arctan3+arctan4=arctan(35)

vilken period??

varför är det + pi på slutet ? 

Vad menar du med + pi? Det finns inga pi i min lösning. Vet du hur grafen för arctan(x) ser ut?

qole 68 – Fd. Medlem
Postad: 19 okt 2020 20:43
Albiki skrev:

Hej,

Du vill veta summan av tre vinklar u+v+wu+v+w där tanu=2\tan u=2 och tanv=3\tan v=3 samt tanw=4.\tan w=4.

    tan(u+v+w)=tan(u+v)+tanw1-tan(u+v)tanw=tanu+tanv1-tanutanv+41-4tanu+tanv1-tanutanv=2+31-6+41-42+31-6=35.\tan (u+v+w) = \frac{\tan(u+v)+\tan w}{1-\tan(u+v)\tan w} = \frac{\frac{\tan u+\tan v}{1-\tan u\tan v}+4}{1-4\frac{\tan u+\tan v}{1-\tan u \tan v}} = \frac{\frac{2+3}{1-6}+4}{1-4\frac{2+3}{1-6}}=\frac{3}{5}.

varför blir det + pi på slutet?

joculator 5289 – F.d. Moderator
Postad: 19 okt 2020 20:43
qole skrev:
vilken period??
varför är det + pi på slutet ? 

Testa att slå arctan2+arctan3+arctan4 på en räknare och sedan arctan (3/5). Varför skiljer de?

Vad är det du får när du tar arctan x? Rita i en enhetscirkel.

qole 68 – Fd. Medlem
Postad: 19 okt 2020 20:44
oneplusone2 skrev:
qole skrev:
oneplusone2 skrev:

tan(a+p)=tana+tanp1-tanatanpp=b+ctan(a+b+c)=tana+tan(b+c)1-tanatan(b+c)expandera  tan(b+c) som vanligt. Förenkla.tan(a+b+c)=tana+tanb+tanc-tanatanbtanc1-tanatanb-tanatanc-tanbtanca=arctan2tana=2b=arctan3tanb=3c=arctan4tanc=4tan(a+b+c)=2+3+4-2*3*41-2*3-2*4-2*4=35arctan[tan(a+b+c)]=arctan(35)a+b+c=arctan(35)arctan2+arctan3+arctan4=arctan(35)

vilken period??

varför är det + pi på slutet ? 

Vad menar du med + pi? Det finns inga pi i min lösning. Vet du hur grafen för arctan(x) ser ut?

facit säger:

arctan2 + arctan 3 + arctan4 = arctan(3/5) + π

qole 68 – Fd. Medlem
Postad: 19 okt 2020 20:48
joculator skrev:
qole skrev:
vilken period??
varför är det + pi på slutet ? 

Testa att slå arctan2+arctan3+arctan4 på en räknare och sedan arctan (3/5). Varför skiljer de?

Vad är det du får när du tar arctan x? Rita i en enhetscirkel.

vet inte vad jag får när jag tar arctanx ... inversen?

hur får jag fram vad jag ska rita i en enhetscirkel... förlåt om jag är trög

qole 68 – Fd. Medlem
Postad: 19 okt 2020 20:53
joculator skrev:
qole skrev:
vilken period??
varför är det + pi på slutet ? 

Testa att slå arctan2+arctan3+arctan4 på en räknare och sedan arctan (3/5). Varför skiljer de?

Vad är det du får när du tar arctan x? Rita i en enhetscirkel.

jag får ju en vinkel + πn.

 

men vad blir n och varför?

oneplusone2 567
Postad: 19 okt 2020 21:34

man kan uppskatta att

 180<arctan(2)+arctan(3)+arctan(4)<270

eftersom tex arctan(3)=60 och arctan(x)<90

om vi då från uppgiften vet att

tan(a+b+c)=35tan(Q)=35Q=arctan(35)+πk måste Q=arctan(35)+π för att passa uppgiften

Jag missade själv den aspekten! Dock så är det uppenbart att arctan(3/5) inte är rätt svar eftersom 2<3/5<3 med tanke på hur arctan(x) ser ut.

Svara
Close