3 st arctan

Prova att använda summaformeln för tangens.

T.ex är

arctan(2) + arctan(3) = arctan(tan(arctan(2) + arctan(3)))

tan(A + B) = ...

EDIT: vilket du kanske hade gjort? Använd den igen med den sista termen. 

$arc\tan \left(a\right)+arc\tan \left(b\right)=arc\tan \left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$

Inte alla steg men det kanske hjälper:  $arc\tan \left(2\right)+arc\tan \left(3\right)+arc\tan \left(4\right)=arc\tan (-1)+arc\tan \left(4\right)=arc\tan \left(\frac{3}{5}\right)$Tänk på perioden

joculator har ett fiffigt sätt. hens formel ser lite märklig ut men det är i princip en omformulering av den vanliga tan(a+b)

$$\begin{gathered} \tan (a+p)=\frac{\tan a+\tan p}{1-\tan a\tan p} \\ p=b+c \\ \tan (a+b+c)=\frac{\tan a+\tan (b+c)}{1-\tan a\tan (b+c)} \\ expandera \tan (b+c) som vanligt. Förenkla. \\ \tan (a+b+c)=\frac{\tan a+\tan b+\tan c-\tan a\tan b\tan c}{1-\tan a\tan b-\tan a\tan c-\tan b\tan c} \\ ⋮ \\ a=arc\tan 2 \\ \tan a=2 \\ b=arc\tan 3 \\ \tan b=3 \\ c=arc\tan 4 \\ \tan c=4 \\ ⋮ \\ \tan (a+b+c)=\frac{2+3+4-2*3*4}{1-2*3-2*4-2*4}=\frac{3}{5} \\ arc\tan \left[\tan \right(a+b+c\left)\right]=arc\tan \left(\frac{3}{5}\right) \\ a+b+c=arc\tan \left(\frac{3}{5}\right) \\ arc\tan 2+arc\tan 3+arc\tan 4=arc\tan \left(\frac{3}{5}\right) \end{gathered}$$

Tack! Alltid kul att se en annan lösning.

Jag tycker mitt sätt var enklare/renare, men det beror på att formeln  $arc\tan \left(a\right)+arc\tan \left(b\right)=arc\tan \left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$    finns med i min formelsamling. Så jag kunde slå upp den.

Din lösning använder   $\tan (a+b)=\frac{\tan \left(a\right)+\tan \left(b\right)}{1-\tan \left(a\right)\tan \left(b\right)}$som jag också kan slå upp i formelsamlingen. 

Men om din formel är 'vanligare' är det bättre att kunna den, man kan ju inte lära sig alla utantill.  Som sagt, tack.

oneplusone2 skrev:

$$\begin{gathered} \tan (a+p)=\frac{\tan a+\tan p}{1-\tan a\tan p} \\ p=b+c \\ \tan (a+b+c)=\frac{\tan a+\tan (b+c)}{1-\tan a\tan (b+c)} \\ expandera \tan (b+c) som vanligt. Förenkla. \\ \tan (a+b+c)=\frac{\tan a+\tan b+\tan c-\tan a\tan b\tan c}{1-\tan a\tan b-\tan a\tan c-\tan b\tan c} \\ ⋮ \\ a=arc\tan 2 \\ \tan a=2 \\ b=arc\tan 3 \\ \tan b=3 \\ c=arc\tan 4 \\ \tan c=4 \\ ⋮ \\ \tan (a+b+c)=\frac{2+3+4-2*3*4}{1-2*3-2*4-2*4}=\frac{3}{5} \\ arc\tan \left[\tan \right(a+b+c\left)\right]=arc\tan \left(\frac{3}{5}\right) \\ a+b+c=arc\tan \left(\frac{3}{5}\right) \\ arc\tan 2+arc\tan 3+arc\tan 4=arc\tan \left(\frac{3}{5}\right) \end{gathered}$$

vilken period??

varför är det + pi på slutet ? 

joculator skrev:

Tack! Alltid kul att se en annan lösning.

 

Jag tycker mitt sätt var enklare/renare, men det beror på att formeln  $arc\tan \left(a\right)+arc\tan \left(b\right)=arc\tan \left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$    finns med i min formelsamling. Så jag kunde slå upp den.

 

Din lösning använder   $\tan (a+b)=\frac{\tan \left(a\right)+\tan \left(b\right)}{1-\tan \left(a\right)\tan \left(b\right)}$som jag också kan slå upp i formelsamlingen. 

 

Men om din formel är 'vanligare' är det bättre att kunna den, man kan ju inte lära sig alla utantill.  Som sagt, tack.

+pi på slutet. Varför? 

x=3/5 ligger ju mellan 0<x<pi/2

min tanke är att din formel är baserad på den vanliga tan(a+b)

$$\begin{gathered} \tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y} \\ a=\tan x \\ arc\tan \left(a\right)=x \\ b=\tan y \\ arc\tan \left(b\right)=y \\ ⋮ \\ \tan (x+y)=\frac{a+b}{1-ab} \\ arc\tan \left(\tan \right(x+y\left)\right)=arc\tan \left(\frac{a+b}{1-ab}\right) \\ x+y=arc\tan \left(\frac{a+b}{1-ab}\right) \\ arc\tan \left(a\right)+arc\tan \left(b\right)=arc\tan \left(\frac{a+b}{1-ab}\right) \end{gathered}$$

Hej,

Du vill veta summan av tre vinklar $u+v+w$ där $\tan u=2$ och $\tan v=3$ samt $\tan w=4.$

    $\tan (u+v+w) = \frac{\tan(u+v)+\tan w}{1-\tan(u+v)\tan w} = \frac{\frac{\tan u+\tan v}{1-\tan u\tan v}+4}{1-4\frac{\tan u+\tan v}{1-\tan u \tan v}} = \frac{\frac{2+3}{1-6}+4}{1-4\frac{2+3}{1-6}}=\frac{3}{5}.$

Det sökta svaret är därför $u+v+w=\arctan \frac{3}{5}$.

Notera att det finns flera vinklar $x$ vars tangensvärde är $3/5$, eftersom tangensfunktionen är periodisk med perioden $\pi.$ Om $\tan x=3/5$ så är även $\tan(x+n\cdot \pi)=3/5$ där $n\in\mathbb{Z}.$

Det korrekta svaret är därför

    $u+v+w=\arctan \frac{3}{5} + n\cdot \pi$

för något  $n\in\mathbb{Z}.$ För att ta reda på heltalet $n$ måste man känna till att $u\approx 60^\circ$ och $v\approx 70^\circ$ samt $w\approx 80^\circ$ vilket ger $u+v+w\approx 210^\circ$ och motsvarar $n=1$ så att

    $u+v+w=\arctan \frac{3}{5}+\pi.$

qole skrev:

oneplusone2 skrev:

$$\begin{gathered} \tan (a+p)=\frac{\tan a+\tan p}{1-\tan a\tan p} \\ p=b+c \\ \tan (a+b+c)=\frac{\tan a+\tan (b+c)}{1-\tan a\tan (b+c)} \\ expandera \tan (b+c) som vanligt. Förenkla. \\ \tan (a+b+c)=\frac{\tan a+\tan b+\tan c-\tan a\tan b\tan c}{1-\tan a\tan b-\tan a\tan c-\tan b\tan c} \\ ⋮ \\ a=arc\tan 2 \\ \tan a=2 \\ b=arc\tan 3 \\ \tan b=3 \\ c=arc\tan 4 \\ \tan c=4 \\ ⋮ \\ \tan (a+b+c)=\frac{2+3+4-2*3*4}{1-2*3-2*4-2*4}=\frac{3}{5} \\ arc\tan \left[\tan \right(a+b+c\left)\right]=arc\tan \left(\frac{3}{5}\right) \\ a+b+c=arc\tan \left(\frac{3}{5}\right) \\ arc\tan 2+arc\tan 3+arc\tan 4=arc\tan \left(\frac{3}{5}\right) \end{gathered}$$

vilken period??

varför är det + pi på slutet ? 

Vad menar du med + pi? Det finns inga pi i min lösning. Vet du hur grafen för arctan(x) ser ut?

Albiki skrev:

Hej,

Du vill veta summan av tre vinklar $u+v+w$ där $\tan u=2$ och $\tan v=3$ samt $\tan w=4.$

    $\tan (u+v+w) = \frac{\tan(u+v)+\tan w}{1-\tan(u+v)\tan w} = \frac{\frac{\tan u+\tan v}{1-\tan u\tan v}+4}{1-4\frac{\tan u+\tan v}{1-\tan u \tan v}} = \frac{\frac{2+3}{1-6}+4}{1-4\frac{2+3}{1-6}}=\frac{3}{5}.$

varför blir det + pi på slutet?

qole skrev:
vilken period??
varför är det + pi på slutet ? 

Testa att slå arctan2+arctan3+arctan4 på en räknare och sedan arctan (3/5). Varför skiljer de?

Vad är det du får när du tar arctan x? Rita i en enhetscirkel.

oneplusone2 skrev:

qole skrev:

Visa föregående citat

oneplusone2 skrev:

$$\begin{gathered} \tan (a+p)=\frac{\tan a+\tan p}{1-\tan a\tan p} \\ p=b+c \\ \tan (a+b+c)=\frac{\tan a+\tan (b+c)}{1-\tan a\tan (b+c)} \\ expandera \tan (b+c) som vanligt. Förenkla. \\ \tan (a+b+c)=\frac{\tan a+\tan b+\tan c-\tan a\tan b\tan c}{1-\tan a\tan b-\tan a\tan c-\tan b\tan c} \\ ⋮ \\ a=arc\tan 2 \\ \tan a=2 \\ b=arc\tan 3 \\ \tan b=3 \\ c=arc\tan 4 \\ \tan c=4 \\ ⋮ \\ \tan (a+b+c)=\frac{2+3+4-2*3*4}{1-2*3-2*4-2*4}=\frac{3}{5} \\ arc\tan \left[\tan \right(a+b+c\left)\right]=arc\tan \left(\frac{3}{5}\right) \\ a+b+c=arc\tan \left(\frac{3}{5}\right) \\ arc\tan 2+arc\tan 3+arc\tan 4=arc\tan \left(\frac{3}{5}\right) \end{gathered}$$

vilken period??

varför är det + pi på slutet ? 

Vad menar du med + pi? Det finns inga pi i min lösning. Vet du hur grafen för arctan(x) ser ut?

facit säger:

arctan2 + arctan 3 + arctan4 = arctan(3/5) + π

joculator skrev:

qole skrev:
vilken period??
varför är det + pi på slutet ? 

Testa att slå arctan2+arctan3+arctan4 på en räknare och sedan arctan (3/5). Varför skiljer de?

Vad är det du får när du tar arctan x? Rita i en enhetscirkel.

vet inte vad jag får när jag tar arctanx ... inversen?

hur får jag fram vad jag ska rita i en enhetscirkel... förlåt om jag är trög

joculator skrev:

qole skrev:
vilken period??
varför är det + pi på slutet ? 

Testa att slå arctan2+arctan3+arctan4 på en räknare och sedan arctan (3/5). Varför skiljer de?

Vad är det du får när du tar arctan x? Rita i en enhetscirkel.

jag får ju en vinkel + πn.

men vad blir n och varför?

man kan uppskatta att

 ${180}^{\circ }<arc\tan \left(2\right)+arc\tan \left(3\right)+arc\tan \left(4\right)<{270}^{\circ }$

eftersom tex $arc\tan \left(\sqrt{3}\right)={60}^{\circ }$och $arc\tan \left(x\right)<{90}^{\circ }$

om vi då från uppgiften vet att

$$\begin{gathered} \tan (a+b+c)=\frac{3}{5} \\ \tan \left(Q\right)=\frac{3}{5} \\ Q=arc\tan \left(\frac{3}{5}\right)+\mathrm{\pi k} \\ \mathrm{så} \mathrm{måste} \\ Q=arctan\left(\frac{3}{5}\right)+\mathrm{\pi } \\ \mathrm{för} \mathrm{att} \mathrm{passa} \mathrm{uppgiften} \end{gathered}$$

Jag missade själv den aspekten! Dock så är det uppenbart att arctan(3/5) inte är rätt svar eftersom 2<3/5<3 med tanke på hur arctan(x) ser ut.