Derivata

Hur har du försökt?

Oj förlåt det ska stå 

a) y = (3x-3)^3 istället

Hur tänker du själv? Vi skall inte lösa dina uppgifter utan hjälpa dig utifrån där du är.

Trots detta, a uppgiften kan du göra på två sätt. Den första är att utveckla kvadraten för att sedan derivera det andragradspolynom du får på vanligt sätt. Det andra är nog den troliga metoden med tanke på b uppgiften sedan; Kedjeregeln. Kolla på den.

Edit: Även om det nu är ^3 i första går det att utveckla detta men det gör kedjeregeln ännu mera attraktiv även för denna uppgift.

Ok

Jag har börjat med 

a)

27x^3- 27x^2 och där har jag fastnat

AndersW skrev :

Hur tänker du själv? Vi skall inte lösa dina uppgifter utan hjälpa dig utifrån där du är.

Trots detta, a uppgiften kan du göra på två sätt. Den första är att utveckla kvadraten för att sedan derivera det andragradspolynom du får på vanligt sätt. Det andra är nog den troliga metoden med tanke på b uppgiften sedan; Kedjeregeln. Kolla på den.

Edit: Även om det nu är ^3 i första går det att utveckla detta men det gör kedjeregeln ännu mera attraktiv även för denna uppgift.

Han ska inte använda kedjeregeln, den tas inte upp i kurs 3. Han ska derivera som vanligt. 

Emir21, om du har funktionen $\mathit{y}\mathbf{=}\mathit{b}{\mathit{x}}^{\mathbf{a}}$ så är derivatan till den $\mathit{y}\mathbf{\text{'}}\mathbf{=}\mathit{a}\mathbf{·}\mathit{x}{\mathit{a}}^{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{1}}$ På så sätt kan du derivera. 

Ok nu får vi börja med att kolla, är du på matte 3 så skall du inte ha gått igenom kedjeregeln än men du kan läsa om den här: derivatan av sammansatta funktioner .

Men om så är fallet måste b uppgiften vara annorlunda än jag tolkar det du skrivit. Använd gärna formeleditorn när du skriver in formler (Om du klickar på rottecknet längst till höger i verktygsraden får du igång den) så blir det klarare vad uppgiften verkligen är.

$(3x-3{)}^3=(3x-3{)}^2(3x-3)$om du börjar med att utveckla kvadraten med andra kvadreringsregeln ock sedan multiplicerar resultatet med (3x-3) får du fram ett polynom som du kan derivera

Jag har kommit fram till att svaret

för  a)

162x-81x

Det kan det väl inte stå i facit? För det första, om det blir som du skriver skulle du kunna förkorta det till 81x.

För det andra: Om du utvecklar parentesen kommer du att få en tredjegradsfunktion. Derivatan av en tredjegradsfunktion är en andragradsfunktion.

Vilken funktion får du att derivera?

Jag har kommit att (3x-3)^3 blir 9x-3^2

 Det är fel. Kan du visa alla mellansteg?

Vad menas med mellansteg

Kan du visa hur du gick från (3x-3)^3 till 9x-3^2?

Med mellansteg menas de uträkningar du gör på vägen fram till resultatet. I detta fall är de första mellanstegen att utveckla parentesen så att du får en funktion du kan derivera. Jag skrev ovan hur du kan börja, ta det därifrån.

Emir21 skrev :

Vad menas med mellansteg

Du ska visa hur du kom fram till $9x-3^2$ eftersom ${\left(3x-3\right)}^3\ne 9x-3^2$. Någonstans på vägen har det blivit fel.

Då blir det så här väl?

(3x-3) * (9x^2 -27x+9)

Emir21 skrev :

Då blir det så här väl?

(3x-3) * (9x^2 -27x+9)

Ja! 

Nu kan du multiplicera ihop dessa.

Edit : hoppsan såg fel, det ska vara -18 istället för -27

Låt $f(x) = x^3$ och $g(x) = 3x - 3$. Du vet då att

$(3x - 3)^3 = f(g(x))$

Nu använder man kedjeregeln så man får att derivatan av $f(g(x))$ är $f'(g(x))g'(x)$.

Kan du beräkna vad $f'(x)$ och $g'(x)$ är?

Stokastisk skrev :

Låt $f(x) = x^3$ och $g(x) = 3x - 3$. Du vet då att

$(3x - 3)^3 = f(g(x))$

Nu använder man kedjeregeln så man får att derivatan av $f(g(x))$ är $f'(g(x))g'(x)$.

Kan du beräkna vad $f'(x)$ och $g'(x)$ är?

Jo, men som både jag och Mattepapput konstaterat så är vi på matte 3. Kedjeregeln ingår i matte 4. De operationer som måste göras för att derivera denna funktion är sådant som han gjort tidigare

Ok

(3x-3) * (9x^2 -27x+9) = 27x^3 - 27

Emir21 skrev :

(3x-3) * (9x^2 -27x+9) = 27x^3 - 27

Det är inte korrekt att $(3x - 3)^2 = 9x^2 - 27x + 9$. Utan det gäller att

$(3x - 3)^2 = (3x)^2 + 2\cdot (-3) \cdot 3x + (-3)^2 = 9x^2 - 18x + 9$

Så du får alltså att

$(3x - 3)^3 = (3x - 3)(3x - 3)^2 = (3x - 3)(9x^2 - 18x + 9)$

Aha ok

(3x-3) * (9x^2 -18x+9) = 27x^3 -27x^2

Det blir inte korrekt, det gäller att

$(3x - 3)(9x^2 - 18x + 9) = 3x(9x^2 - 18x + 9) - 3(9x^2 - 18x + 9)$

$= 27x^3 - 54x^2 + 27x - 27x^2 + 54x - 27 = 27x^3 - 81x^2 + 81x - 27$

Då blir svaret :

81x^2 -162x + 81

Japp det stämmer.

Nu är det bara b) kvar

Är den

$\frac{2 - (x - 2)^2}{3}$

eller är den

$2 - \frac{(x - 2)^2}{3}$

?

Oavsett vilken det är så ska du börja med att utveckla parentesen.

Den andra alternativet

Okej, lyckas du utveckla parentesen?

A det blir x^2 -4x + 4

Korrekt, så kan du då derivera $2 - \frac{x^2 - 4x + 4}{3}$?

Får fortfarande fel

Vad kommer du fram till då?

2- 2x-4x+4/3

Det gäller att

$2 - \frac{x^2 - 4x + 4}{3} = 2 - \frac{1}{3}x^2 + \frac{4}{3}x - \frac{4}{3}$

Nu är både $2$ och $\frac{4}{3}$ konstanter, så för dessa blir derivatan noll. Så du får att derivatan är

$y' = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$