2017 Q26
√2a2-x2 = 2 -x2a2-x2 = (2 -x)22a2-x2 =4-4x + x22x2-4x +4 -2a2 = 0x2-2x +2 -a2 = 0b2 - 4ac > 0a = 1, b = -2, c = 2 - a24 - 4(2 - a2) > 01 - 1(2 - a2) > 01 > 2 - a2a2 > 1a > 1
Hur går jag vidare? Jag vet att x har ett maximalt värde 2, men det kan ju vara hur litet som helst. Hur hittar jag det största värdet på a som ger två reella lösningar?
Jag vet att x har ett maximalt värde 2
Detta är nyckeln! Vilket värde på a uppfyller detta?
Diskriminanten med PQ-formeln ger att a>1 ger två rötter, men då måste vi ta hänsyn till eventuella falska rötter som kan ha uppkommit. Uttrycket 2a2-x2 får aldrig vara mindre än noll, eftersom VL då är odefinierat, men x får inte vara större än 2, eftersom VL≠HL då. Det största a som uppfyller detta fås om x är maximalt, dvs. 2. Det ger oss
2a2-22=2-2a2=2a=(±)√2. :)
Smutstvätt skrev:Jag vet att x har ett maximalt värde 2
Detta är nyckeln! Vilket värde på a uppfyller detta?
Diskriminanten med PQ-formeln ger att a>1 ger två rötter, men då måste vi ta hänsyn till eventuella falska rötter som kan ha uppkommit. Uttrycket 2a2-x2 får aldrig vara mindre än noll, eftersom VL då är odefinierat, men x får inte vara större än 2, eftersom VL≠HL då. Det största a som uppfyller detta fås om x är maximalt, dvs. 2. Det ger oss
2a2-22=2-2a2=2a=(±)√2. :)
Tack för hjälpen men hur vet vi att det finns inte ett negativt tal x som leder till ett större tal a?
Ex. x = -100
VL har formen av en halvcirkel som går från x = -a√2 till x = a√2. HL är en rät linje, y=2-x. Då x>2 är HL negativt, och om vi ska "hinna med" två olika reella rötter innan HL blir negativt (dit VL aldrig kan följa efter) måste denna halvcirkel vara konstruerad så att kanterna ligger innanför x=±2. Det innebär att a måste vara mindre än eller lika med √2. :)