2016 Q27, olikhet, två variabler
Hejsan,
Inte säker på att det är bra att bifoga mina anteckningar, rätt kladdigt, visste nämligen inte hur man skulle gå tillväga. I kaoset kom jag på att det kanske gick att beskriva a som ett absolutbelopp |x-1|. Mina enda argument till det är att båda är positiva och ”något händer” vid x=1, framförallt blev jag väck med a:et... skulle någon vilja dela med sig av hur man kan ta sig an den här uppgiften?
Det är alltid riskabelt att multiplicera med obekanta när det gäller olikheter. Ett bättre sätt är att flytta alla termer till ett led, och skriva allt på samma nämnare:
1x-1-ax+1≥0(x+1)-a(x-1)(x-1)(x+1)≥0x+1-ax+a(x-1)(x+1)≥0
Genom att faktorisera täljaren kan vi komma till:
x(1-a)+(1+a)(x-1)(x+1)≥0
Nu kan vi med hjälp av en teckentabell undersöka vad som händer för olika värden på x. :)
Smutstvätt skrev:Det är alltid riskabelt att multiplicera med obekanta när det gäller olikheter. Ett bättre sätt är att flytta alla termer till ett led, och skriva allt på samma nämnare:
1x-1-ax+1≥0(x+1)-a(x-1)(x-1)(x+1)≥0x+1-ax+a(x-1)(x+1)≥0
Genom att faktorisera täljaren kan vi komma till:
x(1-a)+(1+a)(x-1)(x+1)≥0
Nu kan vi med hjälp av en teckentabell undersöka vad som händer för olika värden på x. :)
Jag försökte med dina tips, men förstår ändå inte hur jag ska hitta största möjliga lösning? När x>1 så är verkar det inte möjligt att veta ifall uttrycket blir positivt eller negativt, utan att veta a mer exakt. Förstår inte hur man har fått a i nämnaren i svaret... allt med uppgiften känns förvirrande just nu :p
Har du följt Smutstvätts tips och gjort en värdetabell? Lägg upp den här!
Smaragdalena skrev:Har du följt Smutstvätts tips och gjort en värdetabell? Lägg upp den här!
Sådär?
Lägg in a också - du vet ju att a > 1.
Vi kan notera att termen (1+a) i täljaren är positiv, eftersom a är större än ett. Vi kan nu arbeta lite med vår teckentabell:
-101x(1-a)+++0--(1+a)++++++x(1-a)+(1+a)(x-1)----0+(x+1)-0++++(x-1)(x+1)+0--0+x(1-a)+(1+a)(x-1)(x+1)
Frågan är nu vad x(1-a)+(1+a) är. (1+a) är som sagt alltid positivt. När är då 0≤x(1-a)+(1+a)? Vi kan flytta en term till andra sidan, och få -(1+a)≤x(1-a). Division av båda led med (1-a) (glöm inte att olikheten byter tecken!) ger oss då att -1+a1-a≥x. Det bråket är ett positivt tal, som alltid är större än ett. Vi kan därför sätta in det i vår teckentabell:
-101-1+a1-ax(1-a)+++0-----(1+a)+++++++++x(1-a)+(1+a)+++++++0-(x-1)-----0+++(x+1)-0+++++++(x-1)(x+1)+0---0+++x(1-a)+(1+a)(x-1)(x+1)+/---/+0-
1x-1≥ax+1x+1
