2014-6 (Matematik/MaFy (mattedelen))

Fönstersymbolen är bara en symbol som betecknar någon slags operator som tar två operander (x och y i det här fallet) och genererar ett resultat enligt det som står till höger om likhetstecknet.

och det innebär?

Har jag gjort rätt?

Ett alternativt tankesätt

fönsterfunktionen kan skrivas som

$\frac{x y + y}{x y + x}$

eftersom 0< y < x så är nämnaren alltid större än täljaren, varvid a och b är uppenbart falska

och c är ok (även om likhet aldrig kan inträffa)

Jag försöker förstå hur du resonerade i ditt första inlägg, men jag får inte till det.

Du skriver att du förenklade ekvationen men det finns ju ingen ekvation att förenkla.

Vidare skriver du att $y = \frac{x + 1}{x} - 1$

om jag förenklar högerledet får jag det till 1/x alltså att y = 1/x, verkar inte rätt.

Nu är jag ute på väldigt hal is, men fönstersymbolen kan om jag förstår er rätt betyda precis vad som helst?
Min tolkning då är att fönstersymbolen står för texten "förhåller sig till" som jag skrev ovan.
Då blir det precis som du skriver Ture eftersom jag missade att det går att förkorta en gång till.

$y = \frac{1}{x}$ ger värdetabellen jag tog fram och för att x > y
så måste $x \geq 1$ vilket resulterar i att $y \leq 1$

Jag förstår inte varifrån du får att y = 1/x.

Det enda vi vet är att x > y >0

Fönstersymbolen kan betyda vad som helst. I det här fallet betyder den att om du har x och y så definierar fönstersymbolen en funktion vars värde är (x+1)y/(x(y+1))

x kan anta alla värden > 0, exvis 0,5
y kan anta alla värden mellan x och 0. exvis 0,25

då får fönsterfunktionen värdet

0,375/0,625 = 0,6

Jag tolkar det som att $y = \frac{(x + 1) y}{x (y + 1)}$ som det står i inledningen. Vi dividerar bägge sidor med y och sedan multiplicerar vi bägge sidor med $(y + 1)$ och då får vi att $y = \frac{(x + 1)}{x} - 1$
Sedan hjälpte du mig med $y = \frac{x + 1}{x} - \frac{x}{x} = \frac{1}{x}$
Den grafen kan vi då skissa med hjälp av värdetabellen.
Med hjälp av förutsättningen $x > y > 0$ och värdetabellen så ser vi att $y = \leq 1$

Nej det står x_fönster_y = ....

Fönstret är en operator och det som står till höger om likhetstecknet visar hur man ska hantera x och y när den symbolen står emellan.

Ett annat skrivsätt kan vara z = f(x,y) = $\frac{y (x + 1)}{x (y + 1)}$

Det är alltså inte korrekt att dividera med y som du gör.

Ture skrev:
Ett annat skrivsätt kan vara z = f(x,y) = $\frac{y (x + 1)}{x (y + 1)}$

Detta! Symboler likt denna dyker upp på många prov, och det är mycket lättare att förstå vad som efterfrågas om en direkt skriver om vänsterledet (eller ledet med den märkliga symbolen) som en funktion istället.

(eller ja, det är ju redan någon slags funktion, men genom att skriva om vänsterledet till vad som mer tydligt är en funktion)

OK då förstår jag! Däremot förstår jag inte varför man inför en symbol som inte finns? Om den inte är definierad så kan den ju betyda vad som helst. Jag har sökt jättemycket, men hittar inte något exempel i läroböcker eller på nätet som använder något liknande. Har ni något ni kan hänvisa till som går igenom något som påminner om detta? Med symbolen f(x,y) eller en bok eller cykelpedal eller vad de nu kan hitta på? Symbolen f(x,y) tycker jag är tydlig och lätt att förstå, men cykelpedaler och bananskal fattar jag inte varför vi ska införa.

Jag håller med dig helt och fullt!

När jag gick på gymnasiet hade vi ngt liknande, men det var en ring istället för ett fönster. Äldre välutbildade bekanta försökte förstå men fattade inte heller vitsen.

Kan man krångla till ngt så varför inte göra det?

"warum soll man es einfach machen, wenn man es so schön komplicieren kann?" Ursäkta ev felstavningar, skoltyskan är rostigare än matten... 😂

Ture skrev:
Jag håller med dig helt och fullt!

När jag gick på gymnasiet hade vi ngt liknande, men det var en ring istället för ett fönster. Äldre välutbildade bekanta försökte förstå men fattade inte heller vitsen.

Kan man krångla till ngt så varför inte göra det?

"warum soll man es einfach machen, wenn man es so schön komplicieren kann?" Ursäkta ev felstavningar, skoltyskan är rostigare än matten... 😂

Tack Ture för det. Det lättade min frustration och humöret vändes i glädje. Tyskan verkar vara rätt och rolig. Påminner mig om en affisch vi hade på jobbet först texten "rauchen macht schlank" så en bild på ett skelett med en cigarett sedan texten "rauche ruhig weiter".
Nu har jag hittat några YouTube-videos och det verkar som om exemplet egentligen är en enkel variant av flervariabelanalys.

Tusen tack för ditt tålamod och även stort tack till Smutstvätt.

En fråga till. Varför faller a) bort?
Ska man tänka f(y,x)? Förändrar det något? Blir alla x då y och tvärtom?

Ja, om a ska gälla så måste det för alla för alla x > y > 0 gälla att f(x,y) = f(y,x), dvs att $\frac{(x+1)y}{x(y+1)}=\frac{(y+1)x}{y(x+1)}$ .

Yngve skrev:
Ja, om a ska gälla så måste det för alla för alla x > y > 0 gälla att f(x,y) = f(y,x), dvs att $\frac{(x+1)y}{x(y+1)}=\frac{(y+1)x}{y(x+1)}$ .

Ja vad bra tack. Då börjar jag att greppa detta nu. Synd att jag inte alls förstod ditt första inlägg, men jag behöver fokusera mer på orden både i frågor och svar. Lite av gamla gymnasietiden sitter fortfarande kvar. Ge mig en ekvation och sluta prata så mycket var ungefär vad jag kände på den tiden. Därför har jag rätt mycket att ta igen vad gäller terminologi och härledningar.

ConnyN skrev:

Ja vad bra tack. Då börjar jag att greppa detta nu. Synd att jag inte alls förstod ditt första inlägg, men jag behöver fokusera mer på orden både i frågor och svar.

OK jag borde nog ha formulerat svaret lite tydligare utan att blanda in begrepp som operatörer och operander.

Att de använder sådana figurer skulle jag gissa beror på att de vill testa ens förståelse av hur funktioner definieras. De verkar vara ganska vanliga på matematikdelen av MaFy-provet. Exempel:

(2022):

(2021):

(2019):

(2018):

(2017):

(2016):

Matte- och fysikprovet verkar gilla denna typ av uppgifter. :)

ConnyN skrev:
Däremot förstår jag inte varför man inför en symbol som inte finns? Om den inte är definierad så kan den ju betyda vad som helst.

Den är definierad! Nu i alla fall. Uppgiften definierar den symbolen.

För den som vill vara lite mer matematikhistorisk, är ju alla symboler någonstans odefinierade från början. Från början skrevs addition som latinets ord för och, et. Och plustecknet är en förkortning av et.

På samma sätt som behovet av att kunna uttrycka att vara borta från jobbet för att ta hand om ett sjukt barn bildade ordet vab, en förkortning som senare gett upphov till verbet vabba, växte plustecknet fram för att det var jobbigt att skriva "et" hela tiden. Och när den franska matematikern Christian Kramp arbetade med fakulteter, behövde han kunna skriva fakulteter utan att behöva skriva alla faktorer, och då bestämde han sig för att "n!" betyder n-fakultet. Sedan fastnade det.

Där är matematiken ett språk precis som alla andra – saker och ting börjar med ett förslag, som definieras varje gång, och med tiden blir vissa av förslagen mer och mer accepterade. I början behövde Kramp säkert förklara sin definition varje gång han arbetade med nya personer, men idag är det en allmänt vedertagen symbol.

Om några år kanske vi hittar ett användningsområde där vi behöver beräkna $\frac{(x + 1) y}{x (y + 1)}$ om och om igen för olika värden på x och y, och då kanske det införs en symbol för en sådan beräkning. Kanske är det ett fönster, som här i uppgiften, kanske är det ett bananskal, vem vet?

Det är också okej att samma symbol betyder olika saker i olika sammanhang. Uttrycket $a \cdot b$ betyder olika saker om a och b är tal, jämfört med om a och b är vektorer. Ingenstans är kanske detta mer relevant än inom programmering, där begreppet overloading brukar användas för funktioner och operatorer som har olika definition beroende på var de används. Där är plustecknet ett klassiskt exempel. $4+5=9$ , men $" jul " + " godis " = " julgodis "$ .

Nu har jag gått ifrån ämnet alldeles för mycket, så jag får väl radera mitt eget inlägg och hänvisa till regeln om att hålla sig till ämnet. 😉

Smutstvätt skrev:
ConnyN skrev:
Däremot förstår jag inte varför man inför en symbol som inte finns? Om den inte är definierad så kan den ju betyda vad som helst.

Den är definierad! Nu i alla fall. Uppgiften definierar den symbolen.

Är det riktigt säkert? Skulle den inte kunna ersättas med större eller mindre symbol, likhetstecken, log, derivata eller annat.
Det enda som händer är att inget svar är rätt mer än d)

Däremot tycker jag inte alls att det var onödiga upplysningar. Historik är alltid intressant.
Tack för tipsen om användning. De måste jag prova och se om jag trots allt är bildningsbar 😊

ConnyN skrev:

Är det riktigt säkert? Skulle den inte kunna ersättas med större eller mindre symbol, likhetstecken, log, derivata eller annat.
Det enda som händer är att inget svar är rätt mer än d)

Det här är inte konstigare än att det i en uppgift står t.ex. "Låt f(x) = x²+5, där -4 < x < 7".

Det är då en definition av funktionen f(x).

På samma sätt är funktionen "x 'fönster' y" definierad i uppgiften eftersom det där finns både ett funktionsuttryck och en definitionsmängd.

ConnyN skrev:
Det enda som händer är att inget svar är rätt mer än d)

Som du skrev i trådstarten är c) rätt svar, inte d). Glöm inte kravet på att $x>y>0$ . :)

Ja det där var lite förhastat av mig. Särskilt med tanke på alla uppgifter Smutstvätt tog fram. Jag måste titta, träna, tänka och lära nu.
Tack alla som hjälpt mig i denna tråd. Det betyder mycket.

Efter att ha studerat exemplen Smutstvätt letat på så har jag nu fått lite kläm på hur man löser dem.

Mitt sätt att tänka gällande symbolen är så här. Vi får en utsaga tilldelad med två variabler.
Beroende på utsagan så får vi olika stora fönster att titta på och undersöka. Därav fönstersymbolen.
Att försöka förenkla utsagan verkar inte att vara en så bra idé, men däremot så kan man försöka skriva om den så att det blir lättare att hitta fönstrets storlek. T.ex. Tures omskrivning av utsagan från
$\frac{(x + 1) y}{x (y + 1)}$ till $\frac{x y + y}{x y + x}$ gjorde det mycket enklare att se vilka möjliga fönster vi kan ha.

Det blir viktigt att studera vilka förslag facit har och därigenom kunna göra tester. Vissa av uppgifterna är väldigt lämpliga att studera med hjälp av ett gränsvärde som t.ex. $x \to 0^{-}$ eller vad som passar bäst. Eftersom det är begränsat med tid så är det bra om det går att välja värden så att ett eller två av lösningsförslagen direkt bortfaller.

Rent praktiskt är förslaget att istället för att använda fönstersymbolen använda t.ex. f(x,y), en mer känd och lättanvänd symbol, ett bra förslag tycker jag.

Håller ni med om mitt resonemang?

Jag håller med om att det vore enklare, men jag förstår varför de använder en ny symbol.

Däremot tycker jag att det är värt att förenkla. Alternativ (a) kan vi utesluta ganska snabbt med ett exempel, säg $x=3, y=2$ . Men (b) och (c), där kan vi förenkla.

Subtrahera 1 från HL, så får du noll i HL. Det är samma process för b och c. Skriv VL på ett bråkstreck och förenkla. Vad får du kvar? :)

ConnyN skrev:
Rent praktiskt är förslaget att istället för att använda fönstersymbolen använda t.ex. f(x,y), en mer känd och lättanvänd symbol, ett bra förslag tycker jag.

Jag förstår din tanke där, men jag tror att en del av syftet med uppgiften är att träna på abstrakta begrepp.

Jag har sett liknande uppgifter i olika matteböcker, de fanns som sagt redan när jag gick i gymnasiet.

Att MaFY provet är så förtjusta i uppgifter med dessa symboler tror jag hänger ihop med att det rör sig om att välja ut de studenter som har de bästa möjligheterna att klara av studierna. Då är förmågan att kunna hantera abstrakta begrepp en viktig parameter.

Man vill mao göra provet så svårt att det blir utslagsgivande.

Detta är ett bra exempel på att det är smart att se på gamla prov. Har man sett en sådan här uppgift vet man i alla fall hur man skall tänka. Kvar är då bara att lösa uppgiften, inte att förstå vad det är för symbol.

Smutstvätt skrev:
Jag håller med om att det vore enklare, men jag förstår varför de använder en ny symbol.

Däremot tycker jag att det är värt att förenkla. Alternativ (a) kan vi utesluta ganska snabbt med ett exempel, säg $x=3, y=2$ . Men (b) och (c), där kan vi förenkla.

Subtrahera 1 från HL, så får du noll i HL. Det är samma process för b och c. Skriv VL på ett bråkstreck och förenkla. Vad får du kvar? :)

Uteslutningen av a) förstår jag, men sedan är jag inte med. När minskar du HL med 1 och hur kan det bli noll?
Hur menar du VL på ett bråkstreck?

Tillägg: Nu ser jag hur du tänker. Vi minskar i svaret c) och sätter sedan in det givna uttrycket i VL. OK jag är med, men där tycker jag att Tures inlägg #4 är tillräckligt bra att studera även c)

Yngve skrev:
ConnyN skrev:
Rent praktiskt är förslaget att istället för att använda fönstersymbolen använda t.ex. f(x,y), en mer känd och lättanvänd symbol, ett bra förslag tycker jag.

Jag förstår din tanke där, men jag tror att en del av syftet med uppgiften är att träna på abstrakta begrepp.

Jo och där har de nog kommit en bit på vägen med mig nu tror jag 😉
Det är väl tyvärr som våra befäl sa när jag gjorde militärtjänst "människan är lat av naturen" och helst vill man slippa att ta i.
Nu kan jag känna belöningen efter att ha tragglat mig igenom de 6 uppgifter Smutstvätt tog fram. Då kommer tanken fram varför inte ta itu med problemet på en gång utan att ifrågasätta så mycket.
Möjligen är väl en orsak att det är väldigt skönt att ha några att dela problemet med och få lite nya inputs. Så ja det gäller väl att hitta en balans i det också.

Ture skrev:

Jag har sett liknande uppgifter i olika matteböcker, de fanns som sagt redan när jag gick i gymnasiet.

Att MaFY provet är så förtjusta i uppgifter med dessa symboler tror jag hänger ihop med att det rör sig om att välja ut de studenter som har de bästa möjligheterna att klara av studierna. Då är förmågan att kunna hantera abstrakta begrepp en viktig parameter.

Man vill mao göra provet så svårt att det blir utslagsgivande.

Jo så är det nog och mycket går ju att träna upp för den som vill. Se även det jag svarade Yngve.

joculator skrev:
Detta är ett bra exempel på att det är smart att se på gamla prov. Har man sett en sådan här uppgift vet man i alla fall hur man skall tänka. Kvar är då bara att lösa uppgiften, inte att förstå vad det är för symbol.

Jo så är det. Se även mitt svar till Yngve.

ConnyN skrev:
Smutstvätt skrev:
Jag håller med om att det vore enklare, men jag förstår varför de använder en ny symbol.

Däremot tycker jag att det är värt att förenkla. Alternativ (a) kan vi utesluta ganska snabbt med ett exempel, säg $x=3, y=2$ . Men (b) och (c), där kan vi förenkla.

Subtrahera 1 från HL, så får du noll i HL. Det är samma process för b och c. Skriv VL på ett bråkstreck och förenkla. Vad får du kvar? :)

Tillägg: Nu ser jag hur du tänker. Vi minskar i svaret c) och sätter sedan in det givna uttrycket i VL. OK jag är med, men där tycker jag att Tures inlägg #4 är tillräckligt bra att studera även c)

Det är sant, Tures metod går snabbt, och en behöver räkna klart mindre. Kör på Tures metod! :)

Smutstvätt skrev:
ConnyN skrev:
Smutstvätt skrev:
Jag håller med om att det vore enklare, men jag förstår varför de använder en ny symbol.

Däremot tycker jag att det är värt att förenkla. Alternativ (a) kan vi utesluta ganska snabbt med ett exempel, säg $x=3, y=2$ . Men (b) och (c), där kan vi förenkla.

Subtrahera 1 från HL, så får du noll i HL. Det är samma process för b och c. Skriv VL på ett bråkstreck och förenkla. Vad får du kvar? :)

Tillägg: Nu ser jag hur du tänker. Vi minskar i svaret c) och sätter sedan in det givna uttrycket i VL. OK jag är med, men där tycker jag att Tures inlägg #4 är tillräckligt bra att studera även c)

Det är sant, Tures metod går snabbt, och en behöver räkna klart mindre. Kör på Tures metod! :)

Ja det var ju lite klumpigt svar av mig. Jag uppskattar verkligen ditt inlägg. Jag behöver varje idé att lösa uppgifter. Så tack för svaret.

Det var väl inte alls klumpigt? Min metod liknar Tures, men innehåller några steg extra. Varför räkna mer än nödvändigt? :)

x	y
1	1
2	1/2
3	1/3
0,1	10