2013 Q27, absolutbelopp

Jag skulle börja med att rita upp absolutbeloppsekvationen - åtminstone för mig är detta sätt det mest effektiva för att se vad det är som händer.

Skall svaret verkligen bli -3?

Att första ekvationen ger x = 2 håller jag med om. Men p = -3 verkar inte stämma. 

Nej, förlåt mig :( Det ska vara -3/2 och inte heller lyckas jag hitta redigeringsknappen för att ändra i inlägget, kan man inte göra det efter en viss tid?

Om frågan gällde minsta värdet för p skulle jag hålla med facit. 

Laguna skrev:

Om frågan gällde minsta värdet för p skulle jag hålla med facit. 

Hur kom du fram till det?

Vilka möjliga värden på p får du själv? 

Laguna skrev:

Vilka möjliga värden på p får du själv? 

0 och 1/x

Hur gör du då? 

Laguna skrev:

Om frågan gällde minsta värdet för p skulle jag hålla med facit. 

Notera att frågan gäller när ekvationerna har samma lösningar. Den ena ekvationen har precis en lösning. Den andra ekvationen kan ha noll, en eller oändligt många lösningar.

Laguna skrev:

Hur gör du då? 

Sätter jag in dessa i absolutbeloppsekvationerna?

$\frac{4x+p}{p^{2}x+2}=1$ $\iff$ $\left(4-p^2\right)x=2-p$

p = 2:

0x = 2 - 2 = 0, vilket är uppfyllt för alla x.

p = -2:

0x = 2 + 2 = 4, vilket inte är uppfyllt för något x.

$\left|p\right|\ne 2$:

x = $\frac{2-p}{4-p^2}$ = $\frac{1}{2+p}$.

L1vL skrev:

Laguna skrev:

Hur gör du då? 

Sätter jag in dessa i absolutbeloppsekvationerna?

Jag menade, hur gör du för att få fram detta?

Laguna skrev:

L1vL skrev:

Visa föregående citat

Laguna skrev:

Hur gör du då? 

Sätter jag in dessa i absolutbeloppsekvationerna?

Jag menade, hur gör du för att få fram detta?

Jo, jag tog ekvationen som hade p och x i sig, kom fram till att jag inte kunde separera p helt från x, tänkte ”nåväl, sätter väl det jag har i vl och i hl lika med noll var för sig”. Jag kom fram till att VL var noll då x=1/2, satte in detta x-värde i HL och löste ut vad P blev, fick två värden på P, 0 respektive 1/x. 

L1vL skrev:

Laguna skrev:

Visa föregående citat

L1vL skrev:

Laguna skrev:

Hur gör du då? 

Sätter jag in dessa i absolutbeloppsekvationerna?

Jag menade, hur gör du för att få fram detta?

Jo, jag tog ekvationen som hade p och x i sig, kom fram till att jag inte kunde separera p helt från x, tänkte ”nåväl, sätter väl det jag har i vl och i hl lika med noll var för sig”. Jag kom fram till att VL var noll då x=1/2, satte in detta x-värde i HL och löste ut vad P blev, fick två värden på P, 0 respektive 1/x. 

Så, p är antingen 0 eller 2, jag fick ju fram att x=2 var en lösning till absolutbeloppsekvationen? Eftersom att p=2 funkar, varför är inte svaret 2? :) Fast jag borde ha svarat p=2 (inte x). Men, det blev ju fel oavsett. 

Du hade fått fram

4x + p = p²x +2, flytta allt till samma sida

p²x - 4x + 2 - p = 0, förenkla 

(p² - 4)x + 2 - p = 0, bryt ut (p - 2)

(p - 2)((p + 2)x - 1) = 0.

Om p = 2 så är ekvationen uppfylld oavsett värde på x, dvs lösningsmängden är hela $\mathrm{ℝ}$.

I annat fall, dvs p är inte 2, måste vi ha att

(p + 2)x = 1.

Om p = -2 så betyder det att 0x = 1, vilket är omöjligt, så lösning saknas i detta fall.

Om p varken är 2 eller -2 så får vi

x = 1/(p + 2), dvs en unik lösning. Eftersom absolutbeloppsekvationen bara hade en lösning så är det detta fall som är det som är det intressanta att beakta.