2007 Q28, area, triangel

Lösningen är enklare än du tror.

Vad betyder C = A + B ?

Du krånglar till det lite i onödan. Börja om från början med följande tips: Triangeln är likbent, vilket ger dig information om vinklarna, som tillsammans med uppgiftslydelsen ger dig en bra start på problemlösningen.

Era ledtrådar leder till samma sak, den stora vinkeln måste vara 90 grader, stämmer detta verkligen? Att det inte finns någon annan likbent triangel som uppfyller villkoret att en vinkel är summan av två återstående vinklar? Varför är det så självklart? Kanske off topic men blir jättenyfiken. 

Om man är i planet (d v s vinkelsumman i en triangel är 180^o) så är det bara "en halv kvadrat" som uppfyller kraven dels att en av vinklarna är summan av de båda andra, dels att triangeln är likbent. 

Om man ritar en triangel på ett klot kan vinkelsumman bli större än 180o - om man t ex startar på nordpolen, åker rakt söderut till ekvatorn, reser en valfri sträcka längs ekvatorn och åker norrut igen tills man är tillbaka på nordpolen har man en triangel med två räta vinklar i, och dessutom en vinkel uppe vid nordpolen. Summan är alltså större än 180^o.

Att denna triangel är likbent är lite "slumpmässig" och förenklar problemet.

Ett liknande (lite mer utmanande) problem kunde låta:

"I en triangel har två av sidorna längden 1 och 2, medan en av vinklarna är lika med summan av de två återstående vinklarna. Bestäm triangelns area."

L1vL skrev:

Era ledtrådar leder till samma sak, den stora vinkeln måste vara 90 grader, stämmer detta verkligen? Att det inte finns någon annan likbent triangel som uppfyller villkoret att en vinkel är summan av två återstående vinklar? Varför är det så självklart? Kanske off topic men blir jättenyfiken. 

Det är inte självklart, men det är väldigt enkelt att visa att det måste vara så:

Rita en likbent triangel.

Kalla hörnen A, B och C, där sträckan AB är lika lång som sträckan AC.

Vinklarna vid hörnen B och C är då basvinklarna och vinkeln vid A är då toppvinkeln.

Kalla nu vinkeln vid hörn A för $u$, vinkeln vid hörn B för $v$ och vinkeln vid hörn C för $w$.

I vår uppgift så gäller det att en av vinklarna är lika stor som summan av de två andra vinklarna.

Det ger oss följande tre möjliga samband mellan vinklarna:

1. $u=v+w$
2. $v=u+w$
3. $w=u+v$

Eftersom det gäller att basvinklarna i en likbent triangel alltid är lika stora så gäller det att $v=w$.

Om vi ersätter $w$ med $v$ i våra möjliga samband så får vi

1. $u=v+v$
2. $v=u+v$
3. $v=u+v$

Av dessa tre samband är det endast det första som kan stämma.

Alltså har vi att $u=2v$ och det ger oss att vinkelsumman $u+v+w$ kan skrivas $2v+v+v$, dvs vinkelsumman är $4v$ vilket ger oss att $v=45^{\circ}$.

Det finns alltså ingen annan möjlighet.