2 tärningslekar - Sannolikhet

Spontant hade jag valt lek 2. Är man den som börjar slå? Jag ser inte att man har någon fördel av att slå först eller inte slå först, så sannolikheten för vinst bör vara nära 50 % (men jag har inte räknat på det).

Dr. G skrev :

Spontant hade jag valt lek 2. Är man den som börjar slå? Jag ser inte att man har någon fördel av att slå först eller inte slå först, så sannolikheten för vinst bör vara nära 50 % (men jag har inte räknat på det).

Ja, du får slå först. Jag vet inte riktigt...  Jo för om du slår först så kan det ju gå illa för dig, om du slår 110 på två kast säger vi, då behöver person nr 2 bara slå en gång så vinner han/hon..  Alltså så spelar det roll vem som slår först

Slår man vartannat kast? Om man stannar på t.ex 78 och motståndaren slår 80, får man slå igen då? 

Dr. G skrev :

Slår man vartannat kast? Om man stannar på t.ex 78 och motståndaren slår 80, får man slå igen då? 

Nej, du slår först tills du är nöjd med ditt resultat. Sedan när du säger stop så får du inte slå längre och då är det nästa persons tur att slå. 

Man borde kunna skriva ett enkelt programm för detta i Java och sedan köra lekarna 10,000,000 gånger var för att sedan på ett ungefär utesluta vilken man vinner mest på. Men det bör gå att räkna ut också ? 

MattePapput skrev :

Man borde kunna skriva ett enkelt programm för detta i Java och sedan köra leken 10,000,000 gånger var för att sedan på ett ungefär utesluta vilken man vinner mest av. Men det bör gå att räkna ut också ? 

Eftersom lek 2 innehåller ett beslutsmoment (stanna eller slå igen) så måste du bygga in det som en strategi i programmet.

Då kan du genom att köra programmet med olika strategier hitta den bästa strategin.

Den kan du sedan låta tävla mot lek 1.

Yngve skrev :

Eftersom lek 2 innehåller ett beslutsmoment (stanna eller slå igen) så måste du bygga in det som en strategi i programmet.

Då kan du genom att köra programmet med olika strategier hitta den bästa strategin.

Den kan du sedan låta tävla mot lek 1.

Åh, så länge har jag inte programmerat.  :)  Ska dock fråga om min lärare orkar hjälpa mig med det. 

Med dessa spelregler så ändrar jag mig nog. 

Man bör i alla fall inte fortsätta efter 50. Har man 50 är det 50/50 att man säkert förlorar eller får ett bättre läge.

Frågan är om man ska fortsätta efter t.ex 45. Enklast blir nog att fulkoda ihop en simulering. 

Säg att sannolikheten att spelare nr 2 vinner är p när båda spelar optimalt.

Låt nu $b_{ij}$ vara sannolikheten att spelare nr 2 vinner då spelare nr 1 fick i poäng och spelare nr 2 har j poäng.
Vi har då att det måste gälla att
Om $j > i$ så är $b_{ij} = 1$, detta eftersom spelare 2 bara beslutar att sluta då den har mer poäng än spelare nr 1.
Om $j = i$ så är $b_{ij} = max\lbrace p, \frac{100 - i}{100}\rbrace$, detta eftersom spelare nr 2 tjänar på att stanna och börja om, om det inte är större sannolikhet att den vinner i nästa slag.
Om $j < i$ så är $b_{ij} = \frac{1}{100}\sum_{k=j + 1}^{100 - j} b_{ik}$, detta eftersom spelare nr 2 måste fortsätta slå här, annars förlorar den.

Sedan låter vi $a_i$ vara sannolikheten att spelare nr 1 vinner då spelare nr 1 har i poäng. Det gäller då att
$a_{100} = 1 - b_{100, 0}$
$a_{i} = max\left\{ 1 - b_{i, 0}, \,\frac{1}{100}\sum_{k=i+1}^{100} a_k\right\}$

För att detta ska gå ihop rent logiskt så måste det gälla att
$p = 1 - a_0$

Detta är en ekvation som man kan lösa med hjälp av programmering, och det ger att $p \approx 0.5746$. Så sannolikheten att spelare nr 1 vinner är därför ungefär $0.4254$ då båda spelar optimalt.

Förstår inte exakt allting men om du verkligen fick fram rätt svar så är det väldigt imponerande. Bra jobbat.  Kommer att titta på den ett längre tag tills jag förstår mer. 

Du skriver att sannolikheten att vinna för spelare 1 är ungefär 42% då är det bättre att spela de första spelet om man ska vinna fler gånger. Detvar dock väldigt nära. 

Stokastisk skrev :

Säg att sannolikheten att spelare nr 2 vinner är p när båda spelar optimalt.

Låt nu $b_{ij}$ vara sannolikheten att spelare nr 2 vinner då spelare nr 1 fick i poäng och spelare nr 2 har j poäng.
Vi har då att det måste gälla att
Om $j > i$ så är $b_{ij} = 1$, detta eftersom spelare 2 bara beslutar att sluta då den har mer poäng än spelare nr 1.

Vänta nu, om j > i så är det inte 100% sannolikt  att spelare 2 vinner. Bara om (j > i) $\le$ 100    

j får ej överstiga 100 arnars är det en förlust.  Ser inte att du har inkluderat det på något sätt där. Är det något jag missuppfattar? 

Ja, det är alltså om $100 \ge j > i$ så är det 100% sannolikhet att man vinner, man slutar bara slå helt enkelt.

Det inkluderas också för att  man inte tar med de fall som leder till över 100 i poäng när man befinner sig i situationen då $j < i$.

Stokastisk skrev :

Ja, det är alltså om $100 \ge j > i$ så är det 100% sannolikhet att man vinner, man slutar bara slå helt enkelt.

Det inkluderas också för att  man inte tar med de fall som leder till över 100 i poäng när man befinner sig i situationen då $j < i$.

Jaa, det är en väldigt fin och logisk uträkning. Vilken av de två lekar hade du föredragit? 

Jag hade föredragit den första. Som spelare nr 1 har man inte mycket att vinna på andra alternativet. Det är väldigt enkelt för spelare nr 2 i andra spelet att förstå hur den ska spela, det enda den behöver fundera över är om den ska fortsätta eller stanna när det har blivit lika. Men det beslutet påverkar inte så jättemycket hur sannolikheterna förändras, så det spelar inte så stor roll hur man tar det beslutet.

Som spelare nr 1 så måste man spela optimalt (om min uträkning stämmer så bör man som spelare nr 1 fortsätta slå så länge man har under 58 poäng, och då ska man känna till att det är så man ska spela), och även om man gör det så har man större sannolikhet att vinna i första spelet.

För att förtydliga lösningen, vi kallar spelare 1 för A och spelare 2 för B.

Nu låter vi $b_{ij}$ vara sannolikheten att spelare B vinner då spelare A har i poäng och spelare B har j poäng och B ska ta sitt beslut vad den ska göra.

 För att kunna hantera händelsen att man får lika lite olika så låter vi $p$ vara sannolikheten att A vinner då det blir lika. Nu kan man då se att vi har tre olika situationer för $b_{ij}$.

Ett är att $i < j$, detta innebär alltså att B har mer poäng än A vilket därför leder till att B ska bara välja att sluta spelar och därmed vinner.

Ett är att $i = j$, detta innebär att B ska fortsätta spelar om sannolikheten att den vinner i nästa slag är större än $1 - p$ (sannolikheten att B vinner vid oavgjort).

Det tredje alternativet är att $i > j$ och här är det ganska självklart att B ska fortsätta spela.

Så man får att

$b_{ij}=\left\{\begin{array}{cc}1& om i <\hspace{0.17em}j\\ max\left\{1-p,\frac{1}{100}\sum _{k=j+1}^{100}{b}_{ik}\right\}& om i =\hspace{0.17em}j\\ \frac{1}{100}\sum _{k=j+1}^{100}{b}_{ik}& om i >\hspace{0.17em}j\end{array}\right.$

Vi kan notera att alla $b_{ij}$ bara beror på de $b_{ik}$ där $k > j$, vilket alltså innebär att vi kan beräkna $b_{ij}$ genom att iterativt börja med $j = 100$ och sedan stega oss nedåt för varje $0 \le i \le 100$.

För att nu beräkna sannolikheten att A vinner, så låter vi $a_i$ vara sannolikheten att A vinner då den har i poäng. Genom liknande resonemang som tidigare, så inser man att A ska fortsätta spela om sannolikheten är större att den  vinner då den fortsätter än om den stannar. Sannolikheten att A vinner om den stannar är nu $b_{i, 0}$ vilket alltså leder till att då $i < 100$ så har man

$a_i=max\left\{1-b_{i,0},\frac{1}{100}\sum _{k=i+1}^{100}{a}_k\right\}$

Så nu beror $a_i$ enbart på $a_j$ där $j > i$ vilket leder till att man kan beräkna det genom att stega sig nedåt. Samt att $a_{100} = 1$ eftersom spelare A vinner då den får 100 poäng.

Nu är alltså $a_0$ sannolikheten för att A vinner då båda spelar optimalt. Så om regeln är att B vinner vid lika så kan vi beräkna $a_0$ genom att låta $p = 0$. Om det är så att det blir omspel så löser vi enbart ekvationen $a_0 = p$.

Man får nu att $a_0 \approx 0.41879665$ då $p = 0$ och man får att $a_0 \approx 0.4256625$ då man löser ekvationen $a_0 = p$.