(2 frågor ang. Maclaurin) Öppna eller stängda kontinuerliga områden kring x=0 och inre derivator

Hej, jag har lite funderingar kring Maclaurins formler:

1. Från Analys i en variabel kan man finna följande sats:

Antagandet i början utav satsen hänvisar till nedan:

Min första fråga gäller funktionen ln( 1+x ), som dom senare maclaurin utvecklar till $\ln (1 + x) = x + \frac{x^{2}}{2} + x^{3} B (x)$ . Sats 2 (första bilden) antar en stängd kontinuerlig omgivning kring x = 0 vilket inte är fallet för ln( 1+x ) vid x = -1. Hur tolkar man B(x) här? Är B(x) ens giltigt i den kontinuerliga omgivningen av x = 0?

Vi skulle kunna definiera en arbiträr stängd omgivning väldigt nära -1, men hur skulle man bestämma denna stängda omgivning?

Boken ger en ledtråd i att dom säger att "B(x) är begränsad nära x = 0", men vad betyder det, betyder det att likhet upphör att gälla i $\ln (1 + x) = x + \frac{x^{2}}{2} + x^{3} B (x)$ vid de yttre gränserna av den kontinuerliga omgivningen kring x= 0?

2. Min andra fråga gäller inre derivator i maclaurin utvecklingar.

I boken maclaurin utvecklar dom $\ln (1 + 2 x^{3})$ till sjätte ordningen genom variabelbytet t = 2x^3, alltså:

$\ln (1 + t) = t - \frac{1}{2} t^{2} + t^{3} B (t)$ .

Sedan byter de tillbaks till en funktion i x:

$\ln (1 + 2 x^{3}) = 2 x^{3} - \frac{1}{2} (2 {x^{3)}}^{2} + (2 x$ ³)3B(2x3).

Varför kan vi hoppa över kedjeregeln samtidigt som att det fortfarande är giltigt?

Tack för all hjälp i förhand!

Jag svarar på fråga 1. Som det står i sats 1 gäller satsen om funktionen och dess derivator är kontinuerliga i någon omgivning runt x=0. Samtliga derivator av ln(1+x) är kontinuerliga i på t ex (-2/3,2/3). Därmed fungerar t ex d=1/2 i sats 2. Poängen är alltså att man inuti varje öppen omgivning kan hitta en slutet intervall.

Gör en ny tråd om fråga 2. Det står i Pluggakuens regler att man bara skall ha en fråga i varje tråd. /moderator

Smaragdalena skrev:
Gör en ny tråd om fråga 2. Det står i Pluggakuens regler att man bara skall ha en fråga i varje tråd. /moderator

Absolut, ber om ursäkt

parveln skrev:
Jag svarar på fråga 1. Som det står i sats 1 gäller satsen om funktionen och dess derivator är kontinuerliga i någon omgivning runt x=0. Samtliga derivator av ln(1+x) är kontinuerliga i på t ex (-2/3,2/3). Därmed fungerar t ex d=1/2 i sats 2. Poängen är alltså att man inuti varje öppen omgivning kan hitta en slutet intervall.

Jag antar att du menar att d ska vara större än dina intervall gränser, för du har skrivit 2/3 vilket är mindre än 1/2, eller?

2/3 är inte mindre än 1/2. Men poängen är väl att eftersom funktionen får problem vid x=-1 plockar man ett (positivt) d som ligger närmare noll, för att stänga ut diskontinuiteten. Både 2/3 och 1/2 är giltiga val.

Skaft skrev:
2/3 är inte mindre än 1/2. Men poängen är väl att eftersom funktionen får problem vid x=-1 plockar man ett (positivt) d som ligger närmare noll, för att stänga ut diskontinuiteten. Både 2/3 och 1/2 är giltiga val.

Yes, sorry, jag förstår nu tror jag! Jag grävde i detaljerna lite för mycket och förvirrade mig själv med exemplet parveln gav

Svara

Visa senaste svar