2/cosA > 2?

Hej! Jag har kört fast på följande problem.

Utgå från en vinkel A, där $0 ° < A < 90 °$ , och visa att $(2 + \frac{1}{\sin A}) (1 + \frac{1}{\cos A}) > 7$ .

Jag förstår hur jag förenklar VL för att få

$V L = 2 + \frac{2}{\cos A} + \frac{1}{\sin A} + \frac{2}{\sin 2 A}$

I facit står det även markerat så här för att kunna lösa ekvationen

$2 + \underset{> 2}{\underset{⏟}{\frac{2}{\cos A}}} + \underset{> 1}{\underset{⏟}{\frac{1}{\sin A}}} + \underset{> 2}{\underset{⏟}{\frac{2}{\sin 2 A}}}$

Frågan jag har är:

Hur vet jag att det ska vara >2 respektive >1 där det är skrivet?

Tacksam för svar

$0 ° < A < 90 ° \Rightarrow 0 ° < \cos A < 1 ° \Rightarrow \infty > \frac{1}{\cos A} > 1 \Rightarrow \infty > \frac{2}{\cos A} > 2$

Så för $\frac{1}{\sin A}$ borde det bli

$0 ° < A < 90 ° \Rightarrow 0 < \sin A < 1 \Rightarrow \frac{1}{\sin A} > 1$

Detta eftersom sin A är mindre än ett och ett tal dividerat med ett tal som är mindre än ett blir större. Därför blir det större än 1.

Men hur ser det ut på sin 2A?

Blir det $0 ° < 2 A < 180 °$ då?

Ja. Vilka värden kan sin(2A) då?

Blir det också mellan 1 och 0?

0° blir ju sin 2A=0 och det blir 180° också, men däremellan så finns ju också en etta i 90° som ger sin 2A=1.

Men för att det ska stämma med facit så gissar jag på att det blir:

$0 ° < 2 A < 180 ° \Rightarrow 0 < \sin 2 A < 1 \Rightarrow \frac{1}{\sin 2 A} > 1 \Rightarrow \frac{2}{\sin 2 A} > 2$

B0kslukaren skrev:
Blir det också mellan 1 och 0?

0° blir ju sin 2A=0 och det blir 180° också, men däremellan så finns ju också en etta i 90° som ger sin 2A=1.

Men för att det ska stämma med facit så gissar jag på att det blir:

$0 ° < 2 A < 180 ° \Rightarrow 0 < \sin 2 A < 1 \Rightarrow \frac{1}{\sin 2 A} > 1 \Rightarrow \frac{2}{\sin 2 A} > 2$

stämmer bra, men sin(2A) kan vara 1 när A=45

Byt ut A mot 45 och dubbelkolla om olikheten stämmer även när A=45.

Svara

Visa senaste svar