2.2 delmängder av R - exempel mängden A=(0,1)

Vi ska inte visa att $x<1$. Vi väljer medvetet ett tal $x$ sådant att $0<>$

Sedan visar vi att hur vi än väljer talet $x$ kommer det finnas ett tal i mängden som är ännu större, dvs $x$ är inte en minsta övre begränsning.

Exempel: Låt $x=0.8$

Då blir $\varepsilon= 1-x=0.2$

Och talet $1-\varepsilon/2=0.9$

Eftersom $0.9$ tillhör mängden och dessutom är större än $0.8$, måste vi dra slutsatsen att $0.8$ inte är en övre begränsning.

D4NIEL skrev:

Vi ska inte visa att $x<1$. Vi väljer medvetet ett tal $x$ sådant att $0<>$

Sedan visar vi att hur vi än väljer talet $x$ kommer det finnas ett tal i mängden som är ännu större, dvs $x$ är inte en minsta övre begränsning.

Exempel: Låt $x=0.8$

Då blir $\varepsilon= 1-x=0.2$

Och talet $1-\varepsilon/2=0.9$

Eftersom $0.9$ tillhör mängden och dessutom är större än $0.8$, måste vi dra slutsatsen att $0.8$ inte är en övre begränsning.

men x<1 är en väl något som nämns i videon gällande suprenum?  För hon säger ju " vi kan visa detta genom att  för alla x<1  är x inte en övre begränsning till mängden A. " Var kommer $\frac{\epsilon }{2}$ifrån?

Förstod du mitt exempel med $x=0.8$? Kan du räkna igenom ett exempel med $x=0.9$? Vad blir $\varepsilon$ då? Vad blir talet $1-\varepsilon/2$?

Istället för $\varepsilon/2$ kan man till exempel välja $\varepsilon/100$ eller $\varepsilon\cdot 0.99$

Det viktiga är att det nya talet är mindre än $\varepsilon$ och att $1-nya_talet$ tillhör mängden.

D4NIEL skrev:

Förstod du mitt exempel med $x=0.8$? Kan du räkna igenom ett exempel med $x=0.9$? Vad blir $\varepsilon$ då? Vad blir talet $1-\varepsilon/2$?

Istället för $\varepsilon/2$ kan man till exempel välja $\varepsilon/100$ eller $\varepsilon\cdot 0.99$

Det viktiga är att det nya talet är mindre än $\varepsilon$ och att $1-nya_talet$ tillhör mängden.

Jag förstod ditt exempel med x= 0.8. Om x=0.9 så blir epsilon= 0.1 och talet 1-epsilon/2=0.95.

Jag förstår inte dina sista meningar där du säger "det viktiga är att det nya talet är mindre än epsilon och 1-nyatalet tillhör mängden". Vad är nya talet här? Vad är 1-nyatalet?

Det "nya talet" är till exempel $\varepsilon/2$ eller $0.999\varepsilon$ eller något annat tal som är mindre än $\epsilon$.

När du räknade fick du $1-\varepsilon/2=0.95$

Det är ett tal som ligger i mängden och som är större än $x=0.9$. Alltså har du visat att $x=0.9$ inte är den minsta övre begränsningen till mängden eftersom du just hittat ett större tal i mängden.

Så länge du kan hitta större tal i mängden kan inte $x$ vara supremum.

D4NIEL skrev:

Det "nya talet" är till exempel $\varepsilon/2$ eller $0.999\varepsilon$ eller något annat tal som är mindre än $\epsilon$.

När du räknade fick du $1-\varepsilon/2=0.95$

Det är ett tal som ligger i mängden och som är större än $x=0.9$. Alltså har du visat att $x=0.9$ inte är den minsta övre begränsningen till mängden eftersom du just hittat ett större tal i mängden.

Så länge du kan hitta större tal i mängden kan inte $x$ vara supremum.

Okej. Mängden är alltså (0,1)? 

Ja.

D4NIEL skrev:

Ja.

Varför tar man 1-epsilon/2? Det har jag inte tänkt på. Kan det vara för att man flyttade x till högerledet så att man har 1-epsilon/2? Redan i klippet säger hon att 1-epsilon/2 tillhör mängden A utan att tydligt förklara var den där 1-epsilon kommer ifrån. 

Man vill visa att vilket tal x man än väljer i mängden (0,1), så kan man hitta ett annat tal z som uppfyller villkoret x < z < 1, d v s x var inte supremum.

Hur skall man göra för att hitta ett sådant z? Vi skulle t ex kunna välja medelvärdet mellan x och 1, och för att slippa behöva fundera på ) och ] så väljer vi att införa variabeln y = 1-x. Då blir medelvärdet z = x+y/2. Eftersom x < x+y/2 < x+y=1 så måste z vara större än x men mindre än 1, d v s x är inte supremum för det finns (åtminstone) ett tal mellan x och 1.

Jag kallade min variabel för y i stället för epsilon för det är enklare att skrivapå datorn.

Smaragdalena skrev:

Man vill visa att vilket tal x man än väljer i mängden (0,1), så kan man hitta ett annat tal z som uppfyller villkoret x < z < 1, d v s x var inte supremum.

Hur skall man göra för att hitta ett sådant z? Vi skulle t ex kunna välja medelvärdet mellan x och 1, och för att slippa behöva fundera på ) och ] så väljer vi att införa variabeln y = 1-x. Då blir medelvärdet z = x+y/2. Eftersom x < x+y/2 < x+y=1 så måste z vara större än x men mindre än 1, d v s x är inte supremum för det finns (åtminstone) ett tal mellan x och 1.

Jag kallade min variabel för y i stället för epsilon för det är enklare att skrivapå datorn.

Hm jag är osäker på om jag hänger med här.  Var kommer z=x+y/2 ifrån när du införde y=1-x?   Jag är bara nyfiken på var 1-epsilon/2 kommer ifrån? Daniel förklarade redan epsilon/2 ,men det är bara varför man subtraherar 1 från epsilon/2 som jag inte fattar.  Jag är med på att hon kallade epsilon= 1-x >0 i klippet när hon säger låt x<1. 

$\varepsilon$ är avståndet mellan $1$ och $x$.

Nu vill vi skapa vi ett nytt tal som ligger närmare $1$

Ett exempel på att sådant tal som ligger närmare $1$ är $(1-\frac12\varepsilon)$. Det talet ligger mitt emellan $x$ och $1$.

Det ligger på avståndet $\frac12\varepsilon$ från 1.

$x<(1-\frac12\varepsilon)$

Eftersom vi har lyckats konstruera ett tal som är större än $x$ men som ändå tillhör mängden har vi visat att $x$ inte är en övre begränsning till mängden.

D4NIEL skrev:

$\varepsilon$ är avståndet mellan $1$ och $x$.

Nu vill vi skapa vi ett nytt tal som ligger närmare $1$

Ett exempel på att sådant tal som ligger närmare $1$ är $(1-\frac12\varepsilon)$. Det talet ligger mitt emellan $x$ och $1$.

Det ligger på avståndet $\frac12\varepsilon$ från 1.

$x<(1-\frac12\varepsilon)$

Eftersom vi har lyckats konstruera ett tal som är större än $x$ men som ändå tillhör mängden har vi visat att $x$ inte är en övre begränsning till mängden.

Så det nya talet kan illustreras såhär på tallinjen ? Epsilon anger avståndet mellan 1 och x dvs 1-x och epsilon/2 är mellan 1 och x. Som du säger vi vill att det nya talet som är närmare 1 ska vara epsilon/2 från 1 och dess avstånd är då 1-epsilon/2.

D4NIEL skrev:

$\varepsilon$ är avståndet mellan $1$ och $x$.

Nu vill vi skapa vi ett nytt tal som ligger närmare $1$

Ett exempel på att sådant tal som ligger närmare $1$ är $(1-\frac12\varepsilon)$. Det talet ligger mitt emellan $x$ och $1$.

Det ligger på avståndet $\frac12\varepsilon$ från 1.

$x<(1-\frac12\varepsilon)$

Eftersom vi har lyckats konstruera ett tal som är större än $x$ men som ändå tillhör mängden har vi visat att $x$ inte är en övre begränsning till mängden.

När man ska visa att ett tal är större än x som tillhör mängden för att x inte kan vara det minsta övre begränsning , gör man det för att vi talar om "övre begränsning" ? eftersom man säger ju minsta övre begränsning. 

destiny99 skrev:

När man ska visa att ett tal är större än x som tillhör mängden för att x inte kan vara det minsta övre begränsning , gör man det för att vi talar om "övre begränsning" ?

Ja, eftersom det tydligen finns ett tal i mängden som är större än $x$ kan ju inte $x$ vara större än eller lika med alla tal i mängden. Alltså är inte $x$ en övre begränsning.

destiny99 skrev:

eftersom man säger ju minsta övre begränsning. 

Den här delen av din fråga förstår jag inte, men vi behöver inte ens fundera över om $x$ är den minsta möjliga övre begränsningen eftersom $x$ inte ens är en övre begränsning.

Tanken i beviset är att när vi väljer ett tal i mängden (0,1) så har det ett avstånd till 1 ( = epsilon) och kan inte vara en övre begränsning eftersom till exempel talet med halva avståndet också ligger i intervallet (tillhör mängden)

D4NIEL skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

När man ska visa att ett tal är större än x som tillhör mängden för att x inte kan vara det minsta övre begränsning , gör man det för att vi talar om "övre begränsning" ?

Ja, eftersom det tydligen finns ett tal i mängden som är större än $x$ kan ju inte $x$ vara större än eller lika med alla tal i mängden. Alltså är inte $x$ en övre begränsning.

destiny99 skrev:

eftersom man säger ju minsta övre begränsning. 

Den här delen av din fråga förstår jag inte, men vi behöver inte ens fundera över om $x$ är den minsta möjliga övre begränsningen eftersom $x$ inte ens är en övre begränsning.

Så det du säger är en motsägelse till x>=M? 

Ja, just det :-)