2^145 delat i 9

Hur har du börjat? Har du arbetat med kongruensräkning tidigare? Det är en vanlig metod som kan användas för att lösa denna typ av problem. Du kan läsa om kongruensräkning på Matteboken.se. :)

Nu har jag räknat som att2^145= 2^5*29=(2^5)29=32^29

32^29 ≡ 3^29 (mod 9)

2^145= 32^29 ≡ 5^29 =5

Resten är då =5

Stämmer det?

Det stämmer fram till 5^29, men hur gör du när du tar dig från 5^29 till 5? 

Ett enklare sätt kan vara att försöka få till basen åtta, dvs. $8^{???}$. Detta eftersom 8 (mod 9) är -1. Det är bra att träna på både att försöka hitta 1 eller -1 som bas, och att gå den lite längre vägen med att, som du gjort här, bryta ned uttrycket till ett mindre och mindre uttryck. :)

Jag förstår inte hur jag ska kunna få basen till 8? När jag försöker får jag bara massa decimaler? Hur ska jag tänka jag vet inte art det blir fel.

2¹⁴⁵ kan inte få basen 8 och en exponent som är heltal, det stämmer, men ta bort några tvåor. Går det kanske med 2¹⁴⁴?

Ja om jag tar 2^144 

Så får jag ju istället räkningen 2^144 =2^3*48 = 8^48

8^48 ≡  -1 ^48 (mod 9)

Då blir väll resten -1.?

Men hur gör jag med den sista 2an som jag tog bort ur 2^145?

Inte riktigt, gör som du brukar med negativa tal och positiva exponenter.

Den återstående tvåan får du multiplicera med, för 2¹⁴⁵ = 2¹⁴⁴ × 2.

Okej om jag tar 

2^145 = 2^3*48 *2^1

2^145= 8^43 *2^1

8^48 ≡ (-1)^48 

(-1)^ 48 blir då 1 eftersom det är upphöjt med ett jämt tal

2^145 = 1*2 =2

Resten blir då 2? Har jag räknat rätt då?

Japp, utmärkt.

Jag vill bara se litet parenteser i 2^3*48 *2^1, för annars ser man inte riktigt vad det står: 2^(3*48) *2^1

Tusen tack för hjälpen!