2.1 Intervall analys i en variabel

destiny99 skrev:

Hej!

 

I klippet ovan förklarar läraren att (-oo,oo) är  både ett öppet och slutet intervall vilket jag inte riktigt uppfattar. Varför är det så?  Jag tänker parenteserna säger väl att intervallet är öppet. För att intervallet ska vara slutet så borde det vara hakparentes som de andra intervall.

Oändligheter är alltid krångliga. Acceptera att oändligheter ofta bär sig konstigt åt.

En annan sak jag undrar över är intervall som är varken öppet eller slutet , ska man bara se att det är så för att det står [a,b)?

Ja. Jag lärde mig att sådana intervall är halvöppna. Det är tydligare om man skriver t ex $4<x\le 5$ men det är enklare att skriva (4,5].

Din lärare glömde att nämna att tomma mängden är en öppen mängd och att komplementmängder till öppna mängder är slutna. Vad är komplementmängden till tomma mängden?

Tomten skrev:

Din lärare glömde att nämna att tomma mängden är en öppen mängd och att komplementmängder till öppna mängder är slutna. Vad är komplementmängden till tomma mängden?

Tomma mängden har nämnts i avsnittet om mängder ,men hon nämnde inte att tomma mängden är öppen mängd och komplementmängder till öppna mängder är slutna. Det kanske sägs i envarre  pdf om sånt.

Ett intervall kallas slutet om det innehåller alla sina ändpunkter och och öppet  om det inte innehåller någon av sina ändpunkter.

$\infty$ och $-\infty$ är givetvis inga ändpunkter utan endast beteckningar för godtyckligt stora positiva respektive negativa tal.

Därför säger vi konstiga saker som att

$[a,\infty[$ är ett slutet obegränsat intervall

$]a,\infty[$ är ett öppet obegränsat intervall

$]-\infty,\infty[$ är ett obegränsat intervall som saknar ändpunkter

Den tomma mängden $\varnothing$ och hela tallinjen $\mathbb{R}$ är exempel på mängder som helt saknar ändpunkter och därför inte helt självklart kan klassificeras enligt den enkla modellen om ändpunkter i ett intervall. De kan ju vara både öppna och slutna. I senare mattekurser utvidgas begreppet och man konstaterar att såväl $\mathbb{R}$ som $\varnothing$ är exempel på mängder som är både öppna och slutna samtidigt.

I dagligt tal uppfattas egenskaper som "sluten" och "öppen" som motsatsord, men i matematisk mening kan mängder alltså vara både öppna och slutna samtidigt.

D4NIEL skrev:

Ett intervall kallas slutet om det innehåller alla sina ändpunkter och och öppet  om det inte innehåller någon av sina ändpunkter.

$\infty$ och $-\infty$ är givetvis inga ändpunkter utan endast beteckningar för godtyckligt stora positiva respektive negativa tal.

Därför säger vi konstiga saker som att

$[a,\infty[$ är ett slutet obegränsat intervall

$]a,\infty[$ är ett öppet obegränsat intervall

$]-\infty,\infty[$ är ett obegränsat intervall som saknar ändpunkter

Den tomma mängden $\varnothing$ och hela tallinjen $\mathbb{R}$ är exempel på mängder som helt saknar ändpunkter och därför inte helt självklart kan klassificeras enligt den enkla modellen om ändpunkter i ett intervall. De kan ju vara både öppna och slutna. I senare mattekurser utvidgas begreppet och man konstaterar att såväl $\mathbb{R}$ som $\varnothing$ är exempel på mängder som är både öppna och slutna samtidigt.

I dagligt tal uppfattas egenskaper som "sluten" och "öppen" som motsatsord, men i matematisk mening kan mängder alltså vara både öppna och slutna samtidigt.

Så varför är (-oo,oo) både slutet och öppet när det gäller för reella talen ? Gällande tomma mängden finns det ju inga tal där , så det är inte intuitivt för mig varför den är både öppet och slutet och det har inte tagits upp i videon heller. Jag antar att det förekommer i senare mattekurser som du säger.