10 cupcakes på 4 sätt

Tips:

Rita tio stjärnor i en lång rad. Varje stjärna symboliserar en cupcake.

Nu kan du rita tre "avdelare" i form av vertikala streck. 

Dessa avdelare symboliserar gränserna mellan olika dekorationer.

Frågan är nu på hur många sätt du kan placera dessa avdelare om alla cupcakes ska ha en dekoration.

Orsaken till att jag kallar det stjärnar och streck är att metoden ofta kallas "stars and bars".

Så någonting så här. Så jag har 10 stjärnor för 10 cupcakes. Sedan 3 streck för det bildar 4 grupper som står för alla sorters dekorationer. Detta leder till att man tar 13 över 3, då 10 cupcakes + 3 streck är lika med 13. Är det rätt?

Kan du förklara när man använder den här metoden ”starts and bars”?

Det är rätt, givet att man inte kräver att alla dekorationer skall vara representerade.

Jag förstår inte riktigt det här sättet att räkna. Så nu kan det vara så att uppdelningen mellan dekorationerna är 4,2,4,0?

Hejsan266 skrev:

Jag förstår inte riktigt det här sättet att räkna. Så nu kan det vara så att uppdelningen mellan dekorationerna är 4,2,4,0?

Ja, även 0,0,0,10 - placera alla | på position 1-3.

Här är ett utdrag från min kommande "kioskvältare"...

Jag förstår inte riktigt delen där det står 10-1=9 och 4-1=3.  Är det inte bara 10 cupcakes och 3 avdelare?

Som jag läser det, så har Trinity2 helt enkelt fel.

Om man bara får placera avdelare i de röda rutorna så måste varje grupp, varje sorts dekoration, ha minst en cupcake. 

Det kravet har ingen ställt.

EDIT: Fel av mig, som Gustor påpekade.

Trinity2 behandlar grupper med storlek noll under rubrik Mathematica. (Jag föreslår ändå en annan formulering vid de röda rutorna.)

Man kan också tänka att man har tio stjärnor och tre streck (avdelare) som ska ordnas. Det finns (10+3)! sätt att ordna 13 objekt, och eftersom 10 av dem är av samma typ och de andra tre är av en annan typ behöver vi dela med 10! och med 3! för att inte räkna samma sekvenser flera gånger. Vi får

$\frac{13!}{10!3!}=\binom{13}{10}$.

Ett annat sätt, om vi tänker på HL ovan, är att vi placerar tio stjärnor på 13 lediga positioner. Vi kan göra det på $\binom{13}{10}$ sätt. Avdelarnas/streckens tre positioner är då entydigt bestämda.

Tillägg: 13 feb 2025 21:36

Trinity2 behandlar fallet då vi tillåter 0 dekorationer i slutet av inlägget.

Bra synpunkter fråm Bubo och Gustor. Bif. omdisponerad text;