10 + 15 + 21 + 28 + … + 210

Du har ju hittat ett ganska bra samband tycker jag. Hur kan du beskriva det mer generellt?

Sen behöver du också ta reda på hur många termer som finns med i summan. Har du någon aning om hur du gör det?

ja, men det tar lång tid. jag kan fortsätta på samma struktur och addera n+1 

1+2+3+4+5+..   n+1 tills jag kommer fram till 210 

men inte säker på om jag får använda räknare om jag får ett liknande problem

210 får jag när jag adderar 1+2+3+4+5...+20 

summan är inte aritmetisk eftersom differensen förändras och inte heller geometrisk eftersom kvoten också förändras.

Man kan bestämma hur många termer som finns i summan om vi beskriver summan lite mer exakt, så låt oss börja med det.

Vi vill ju ha summan på formen:

$\sum _{n=x}^y{a}_n$

Vi kan väl börja med att skriva ett uttryck för $a_{n}$. Vi har ju kommit fram till att det är summan av alla tal upp till $n$. Hur kan du skriva det algebraiskt?

y = 20

n = 4

okej, utmanande.

vet inte hur jag ska beskriva an

finns det ett annat sätt att skriva ett ett tryck som 4+3+2+1? typ som fakultet,  4! . fast med addition :/ det krävs mycket energi att tänka på det sättet som vi försöker lösa det på och det hjälper inte mig på provet om några dagar

väldigt tacksam över att du utmanar mig och inte ger svar direkt though! Det uppskattas! tack!

man kan ju tänka på differensen kan man göra något av det istället? att skilnaden i talföljden är n+1 

aha!

an = n(n+1)/2 

a2 = 5(5+1)/2 

210 = 20(20 +1 )/2 

men wooow....

sammanfattning: 

1) veta hur talföljdens enkilda tal är uppbyggda 

att 10 = 1+2+3+4

och att 15 = 1+2+3+4+5

osv

2) beskriv sista talet med hjälp av förgående tal 

3) vad är n? och vad är y? 

5) hitta ett generellt samband

Du har ju kommit långt! Se vad man kan åstadkomma om man funderar lite grann!

Vi har ju kommit fram till att

$a_n=\frac{n(n+1)}{2}$

Alltså är vår summa:

$\sum _{n=x}^y\frac{n(n+1)}{2}$

$y$ har du ju mycket riktigt identifierat att det är $20$ eftersom sista termen är $210$. Ett annat sätt vi kunde kommit fram till detta är att sätta $a_{n}$ lika med $210$ och lösa ekvationen (då får vi ju vilket $n$ som ger termen $210$):

$\frac{n(n+1)}{2}=210 \to n=20$

$n$ är ju talet som stegar med och antar alla värden i summan så att vi får $a_{1}+a_{2}+a{3}...$ (läs här om du behöver fräscha upp minnet på sigmasummor). Det man skriver under summasymbolen, $n=x$, är att $n$ ska börja på talet $x$. Vi vet ju att den första termen ska vara $10$ vilket ges av $n=4$, så $x=4$. Detta ger oss:

$\sum _{n=4}^{20}\frac{n(n+1)}{2}$

Det är enligt mig en ganska bra beskrivning av summan.

Försök klura ut hur man kan beskriva termen $a_{n}$ med hjälp av föregående tal (det vill säga en rekursionsformel). Du vet ju att man bara lägger på ett tal åt gången när man går från en term till nästa, t.ex. $a_{4}=a_{3}+4$.

Det är troligen inget som krävs av uppgiften, men en annan utmaning kan vara att försöka komma fram till ett uttryck som ger en värdet på hela summan. Det går nämligen att visa att:

$\sum _{n=4}^k\frac{n(n+1)}{2}=\frac{k^3}{6}+\frac{k^2}{2}+\frac{k}{3}-10$

Det är inte så lätt, men kan du visa hur?