1/2+1/4+1/8... Inte ett gränsvärde?

Summan blir inte 1. Summan går mot 1.

Gränsvärden är de värden som man kommer oändligt nära utan att komma fram till. 

Någon kommer nog att hävda att summan faktiskt blir 1, precis som att 0.9999999999... är lika med 1.

För att börja förstå gränsvärden tycker jag ändå att min formulering kan vara till nytta. 

Summan = 1, Geometrisk serie med kvot 1/2 som har värdet (1/2) * 1/(1-1/2) = 1

Även Mathematica håller med

Kul och spännande fråga! Det här är något alla brottas med de första gången man stöter på gränsvärden (och då och då får små kriser över långt senare i sina studier!).

Det stämmer att om man bara tar med ett ändligt antal termer i summan, så kommer vi aldrig få exakt 1. Med Daniel Bakers geometriska analogi så kommer vi aldrig kunna fylla upp hela cirkelskivan om vi bara tar med ändligt många bitar. Till exempel är

   $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{1024}=0.\!999023438<1\,.$

Men om vi förställer oss att vi tar med alla oändligt många termer i summan så vill jag hävda att vi får likheten

   $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots=1$

och jag tycker inte att man behöver lägga in några specialord som "går mot" bara för att vänsterledet är en samma med oändligt många termer. Men med all rätt väcker detta ett antal viktiga frågor, till exempel:

1) Vad menar vi egentligen när vi skriver att två tal är lika med varandra?

Ett svar skulle kunna vara att de beskriver samma position på tallinjen. Till exempel säger vi att uttrycken $2\cdot 5$ och $\sqrt{100}$ är lika, eftersom de beskriver samma position på tallinjen. Jag gör en lång utläggning om detta i den här tråden som handlade om varför 0.999999...=1, vilket precis som Bubo är inne på är ett liknande fenomen, eftersom det ju kan uttryckas som 

   $\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10\,000}+\cdots=1.$

2) Vad menar vi med en summa med oändligt många termer?

Om man har en summa med oändligt många termer $a_1+a_2+a_3+\cdots$ så är den vanligaste definitionen följande:

Vi föreställer oss helt enkelt följande sekvens av delsummor:

$a_1$

$a_1+a_2$

$a_1+a_2+a_3$

$a_1+a_2+a_3+a_4$

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$

...

och kom om det finns något tal $x$ på tallinjen som är ett gränsvärde, i bemärkelsen att vi kan garantera att vi kan komma hur nära $x$ som helst genom att bara ta med tillräckligt många termer i summan. 

Om ett sådant tal $x$ finns så säger vi att $a_1+a_2+a_3+\cdots=x$. Om det inte finns något sådant tal $x$ så säger vi att $a_1+a_2+a_3+\cdots$ är odefinierat. 

I ditt fall kan vi välja $x=1$. Om jag till exempel kräver att du ska vara max $\frac{1}{100}$ från 1 så räcker det att du tar med minst de 7 första termerna, och och jag kräver att du ska vara max $\frac{1}{1000}$ ifrån $1$ så räcker det att du tar med minst 10 termer i summan, och så vidare. 

Övning: Hur många termer måste du minst ta med för att komma max $\frac{1}{10\,000}$ ifrån $1$?

Sidenote: Däremot så kommer den här summan att vara odefinierad (vilket var lite av en chock när det upptäcktes på 1300-talet!):

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots$

Termernas storlek minskar inte tillräckligt snabbt, så oavsett hur många delsummor vi än beräknar så kommer vi aldrig att börja närma oss något specifikt tal $x$ på tallinjen. 

Bubo skrev:

Någon kommer nog att hävda att summan faktiskt blir 1, precis som att 0.9999999999... är lika med 1.

Den här formuleringen skulle jag vilja peta lite i. Att en oändlig summa (gränsvärde av en summa) är lika med ett tal innebär ju bara att man kan komma godtyckligt nära det talet, givet ett visst antal termer. Men att 0.99... = 1 handlar inte om något som är oändligt nära något annat, det handlar bara om två symboler för samma sak. 0.99... är inget gränsvärde eller något i den stilen. Man kan naturligtvis argumentera för att det är en geometrisk summa men jag håller inte med om det. Man kan prata om oändliga decimalutvecklingar av detta slag utan geometriska summor.

oggih skrev:

Kul och spännande fråga! Det här är något alla brottas med de första gången man stöter på gränsvärden (och då och då får små kriser över långt senare i sina studier!).

Det stämmer att om man bara tar med ett ändligt antal termer i summan, så kommer vi aldrig få exakt 1. Med Daniel Bakers geometriska analogi så kommer vi aldrig kunna fylla upp hela cirkelskivan om vi bara tar med ändligt många bitar. Till exempel är

   $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{1024}=0.9990234375<1.$

Men om vi förställer oss att vi tar med alla oändligt många termer i summan så vill jag hävda att vi får likheten

   $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots=1$

och jag tycker inte att man behöver lägga in några specialord som "går mot" bara för att vänsterledet är en samma med oändligt många termer. Men med all rätt väcker detta ett antal viktiga frågor, till exempel:

1) Vad menar vi egentligen när vi skriver att två tal är lika med varandra?

Ett svar skulle kunna vara att de beskriver samma position på tallinjen. Till exempel säger vi att uttrycken $2\cdot 5$ och $\sqrt{100}$ är lika, eftersom de beskriver samma position på tallinjen. Jag gör en lång utläggning om detta i den här tråden som handlade om varför 0.999999...=1, vilket precis som Bubo är inne på är ett liknande fenomen, eftersom det ju kan uttryckas som 

   $\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10\,000}+\cdots=1.$

2) Vad menar vi med en summa med oändligt många termer?

Om man har en summa med oändligt många termer $a_1+a_2+a_3+\cdots$ så är den vanligaste definitionen följande:

Vi föreställer oss helt enkelt följande sekvens av delsummor:

$a_1$

$a_1+a_2$

$a_1+a_2+a_3$

$a_1+a_2+a_3+a_4$

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$

...

och kom om det finns något tal $x$ på tallinjen som är ett gränsvärde, i bemärkelsen att vi kan garantera att vi kan komma hur nära $x$ som helst genom att bara ta med tillräckligt många termer i summan. 

Om ett sådant tal $x$ finns så säger vi att $a_1+a_2+a_3+\cdots=x$. Om det inte finns något sådant tal $x$ så säger vi att $a_1+a_2+a_3+\cdots$ är odefinierat. 

I ditt fall kan vi välja $x=1$. Om jag till exempel kräver att du ska vara max $\frac{1}{100}$ från 1 så räcker det att du tar med minst de 7 första termerna, och och jag kräver att du ska vara max $\frac{1}{1000}$ ifrån $1$ så räcker det att du tar med minst 10 termer i summan, och så vidare. 

Övning: Hur många termer måste du minst ta med för att komma max $\frac{1}{10\,000}$ ifrån $1$?

Sidenote: Däremot så kommer den här summan att vara odefinierad (vilket var lite av en chock när det upptäcktes på 1300-talet!):

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots$

Termernas storlek minskar inte tillräckligt snabbt, så oavsett hur många delsummor vi än beräknar så kommer vi aldrig att börja närma oss något specifikt tal $x$ på tallinjen. 

Tack för svaret oggih! Väldigt intressant :D

Då innebär det att ifall vi adderar ett oändligt antal termer i summan 1/2+1/4+1/8... så kommer vi att få exakt 1 som svar. Vi behöver inte lägga in någon förmildrande beskrivning såsom att summan "går mot" 1.

Det verkar dock som att 1:an i sammanhanget ändå utgör ett gränsvärde? Trots att den faktiskt kan nås med ett oändligt antal summeringar?

Tack också för tillägget med den förvånande 1300-tals summan! :D

1/2+1/3+1/4...

Innebär detta att den här serien inte har någon "övre gräns" för hur stor den kan bli? Att med ett oändligt antal summeringar så blir även summan oändlig?

Då innebär det att ifall vi adderar ett oändligt antal termer i summan 1/2+1/4+1/8... så kommer vi att få exakt 1 som svar. Vi behöver inte lägga in någon förmildrande beskrivning såsom att summan "går mot" 1.

Det verkar dock som att 1:an i sammanhanget ändå utgör ett gränsvärde? Trots att den faktiskt kan nås med ett oändligt antal summeringar?

För att förtydliga, så kan man tänka intuitivt på en serie som en summa av oändligt många termer, men det är inte något man gör matematiskt. Det är inte möjligt att utföra "oändligt många" additioner och se vad det blir. En sådan process har ju inget slut. Så egentligen är det en rätt missvisande inuition.

Tack också för tillägget med den förvånande 1300-tals summan! :D

1/2+1/3+1/4...

Innebär detta att den här serien inte har någon "övre gräns" för hur stor den kan bli? Att med ett oändligt antal summeringar så blir även summan oändlig?

Ja, det finns ingen gräns för hur stor summan kan bli, det är bara att man tar med fler och fler termer. Men återigen går det inte att addera oändligt många tal och se vad det blir.

ytrewq skrev:

Då innebär det att ifall vi adderar ett oändligt antal termer i summan 1/2+1/4+1/8... så kommer vi att få exakt 1 som svar. Vi behöver inte lägga in någon förmildrande beskrivning såsom att summan "går mot" 1.

Det verkar dock som att 1:an i sammanhanget ändå utgör ett gränsvärde? Trots att den faktiskt kan nås med ett oändligt antal summeringar?

En "summa med oändligt många termer" $a_1+a_2+a_3+\cdots$ kallas mer formellt för en serie, och är definierad som gränsvärdet av talföljden

$a_1$

$a_1+a_2$

$a_1+a_2+a_3$

$a_1+a_2+a_3+a_4$

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$

...

(om detta gränsvärde existerar, annars är serien odefinierad).

Så exempelvis är din serie $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$ definierad som gränsvärdet av talföljden

$\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8},\frac{15}{16},\frac{31}{32},\ldots$

vilket existerar och är lika med 1.

Däremot är serien $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots$ odefinierad, eftersom talföljden av delsummor inte har något gränsvärde. Problemet är mycket riktigt att det inte finns någon övre gräns för hur stora delsummorna kan bli när vi tar med fler och fler termer, vilket man kallar för att följden av delsummor "går mot oändligheten".

Man kan tycka att detta är en lite abstrakt definition, men det är det bästa sättet vi har för att komma undan problemet som Gustor påpekar, nämligen att det inte att utföra ett oändligt antal additioner.

Det kan nog sägas något också om vilket talsystem man arbetar i. Det finns talsystem (t.ex. de surreella talen, de hyperreella talen) som har oändligheter i sig. Där man kan säkerligen prata om saker som "oändliga summor", utan att luta sig på gränsvärden. Man brukar tala om oändligheter av olika storlekar i sådana sammanhang.

Men det är mer en liten intressant kommentar än något annat.

Vad svårt detta var att förstå! Det känns som en riktig definitionslek!

Okej så...

- En serie = gränsvärdet (om den finns) av talföljden av dess delsummor.

Fråga: Kan man inte direkt ta fram gränsvärdet för summeringen av termerna för tex  1/2+1/4+1/8... ? Måste man gå via talföljden av dess delsummor?

- Gränsvärdet av talföljden av dess delsummor är = 1. Därför kan vi (enligt definitionen av serie) säga att serien 1/2+1/4+1/8... = 1

#Detta betyder inte att en oändlig summering av 1/2+1/4+1/8... blir lika med ett (inte minst eftersom en oändlig summering inte är möjlig). ##Det innebär istället att serien 1/2+1/4+1/8... blir lika med ett.

Fråga: Vad blir egentligen skillnaden mellan # och ##? Det känns som att man vill ha fram förstnämnda men det går egentligen inte, så då tar man sistnämnda och tänker att det är typ, nästan, samma sak?

Vad snurrig jag blir!

naytte skrev:

Det kan nog sägas något också om vilket talsystem man arbetar i. Det finns talsystem (t.ex. de surreella talen, de hyperreella talen) som har oändligheter i sig. Där man kan säkerligen prata om saker som "oändliga summor", utan att luta sig på gränsvärden. Man brukar tala om oändligheter av olika storlekar i sådana sammanhang.

Men det är mer en liten intressant kommentar än något annat.

Intressant fotnot! Jag har tänkt kika på "Surreal Numbers: How Two Ex-students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness" ett tag nu, nu blir jag snäppet mer motiverad eftersom oändligheter är spännande! Särskilt "actual infinities" tror jag! :)

Fråga: Kan man inte direkt ta fram gränsvärdet för summeringen av termerna för tex  1/2+1/4+1/8... ? Måste man gå via talföljden av dess delsummor?

Nej, det måste man inte! Livet hade varit hemskt om så vore fallet! Beroende på vilken typ av serie det rör sig om finns det olika sätt. T.ex. en geometrisk serie med $|r|<1$ kan beräknas enligt följande:

$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \sum_{n=0}^{k}ar^n=\frac{a}{1-r}$

För många serier går det alltså att hitta slutna formler.

#Detta betyder inte att en oändlig summering av 1/2+1/4+1/8... blir lika med ett (inte minst eftersom en oändlig summering inte är möjlig). ##Det innebär istället att serien 1/2+1/4+1/8... blir lika med ett.

Den viktiga idén är att man kan komma godtyckligt nära gränsvärdet, givet tillräckligt många termer i serien. Om det går att komma "hur nära gräsnvärdet man vill", så konvergerar serien mot gränsvärdet. Om summan växer ohämmat divergerar serien.

Som jag minns det från när man definierar reella tal utifrån de rationella med Dedekind´s snitt så avslutar man med att identifiera vissa snitt ( bland annat det som skulle kunna skrivas 0,999...) såsom varande de rationella talen vilket gör att 0,9999.... och 1 är samma tal . 

(Från kursen i matematisk logik, 2betyg)

naytte skrev:

Fråga: Kan man inte direkt ta fram gränsvärdet för summeringen av termerna för tex  1/2+1/4+1/8... ? Måste man gå via talföljden av dess delsummor?

Nej, det måste man inte! Livet hade varit hemskt om så vore fallet! Beroende på vilken typ av serie det rör sig om finns det olika sätt. T.ex. en geometrisk serie med $|r|<1$ kan beräknas enligt följande:

$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \sum_{n=0}^{k}ar^n=\frac{a}{1-r}$

För många serier går det alltså att hitta slutna formler.

#Detta betyder inte att en oändlig summering av 1/2+1/4+1/8... blir lika med ett (inte minst eftersom en oändlig summering inte är möjlig). ##Det innebär istället att serien 1/2+1/4+1/8... blir lika med ett.

Den viktiga idén är att man kan komma godtyckligt nära gränsvärdet, givet tillräckligt många termer i serien. Om det går att komma "hur nära gräsnvärdet man vill", så konvergerar serien mot gränsvärdet. Om summan växer ohämmat divergerar serien.

Tack för svaret! Jag tror jag kaaanske börjar förstå det nu...

1/2+1/4+1/8... når faktiskt aldrig summan 1, utan 1 är ett gränsvärde som den kan komma oändligt nära men aldrig nå. Dvs, om man fortsätter att summera 1/2+1/4+1/8 etc i all oändlighet, så kommer man att nå oändligt nära 1 men man kommer aldrig att nå den fullt ut.

- Detta får mig att bli konfunderad kring hur analysen/infinite series sägs lösa Zenos dikotomi-paradox! Det känns tvärtemot som att det här bara stärker hans paradox? Att man aldrig faktiskt når B utan bara kommer oändligt nära B?

När man skriver att 1/2+1/4+1/8...=1, så menar man faktiskt inte en bokstavlig, kvantitetsmässig likhet på något sätt, utan det hela går via en annan definition (av serier) som i sin tur bygger på gränsvärden. Så det ligger ett inbakat gränsvärde i "1/2+1/4+1/8...=1" som man inte ser vid en första anblick.

- Det känns lite missvisande om så är fallet! Inte undra på att det står på en del sidor att summan faktiskt blir 1, eller $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{6}$, eller vad det nu kan vara? Att det är oändliga summeringar som ger en ändlig summa. Det ser ju verkligen ut så!

Slutligen: att "0.999... = 1" betyder dock bokstavligen att dessa två kvantiteter är samma? Dvs 1 är faktiskt inget gränsvärde i det här fallet. Så det finns en skillnad mellan just detta uttryck och infinite series?

(med risk för att ha missförstått allt..!)

Jag tror det som kanske är problematiskt här är vad "oändligt nära" betyder. Jag tycker inte det betyder något meningsfullt när man pratar om reella tal. Det finns inget tal som är "oändligt nära" något annat på den reella tallinjen. Man brukar istället prata om att komma godtyckligt nära ett tal. Låt säga att vår oändliga summa konvergerar mot ett reellt tal $k$. Det betyder att oavsett vilken delsumma du ger mig, kommer jag kunna hitta en större delsumma som är ännu närmare 1. Man brukar definiera detta i termer av $\varepsilon$ och massa andra variabler och logiska kvantifikatorer. Om du är intresserad kan du försöka läsa på om Cauchys kriterium för talföljder.

När man skriver att 1/2+1/4+1/8...=1, så menar man faktiskt inte en bokstavlig, kvantitetsmässig likhet på något sätt, utan det hela går via en annan definition (av serier) som i sin tur bygger på gränsvärden. Så det ligger ett inbakat gränsvärde i "1/2+1/4+1/8...=1" som man inte ser vid en första anblick.

När man skriver 1/2+1/4+1/8...=1 så är det en sann likhet. Det kommer från att gränsvärdet är lika med ett och att den "oändliga summeringen" är en "förkortning" av det formella skrivsättet. MEN: definitionen av gränsvärdet är, uttryckt i ord, att man kan komma godtyckligt nära talet i fråga (1 i vårt fall). 

- Detta får mig att bli konfunderad kring hur analysen/infinite series sägs lösa Zenos dikotomi-paradox!

Som jag nämnde i en av dina tidigare trådar förstår jag inte hur analysen löser någon av Zenos paradoxer. Har alltid tyckt de är jätteskumma.

Slutligen: att "0.999... = 1" betyder dock bokstavligen att dessa två kvantiteter är samma?

Ja, de är exakt samma objekt. Ett enkelt sätt att övertyga sig själv om det på är att försöka hitta ett tal som är större än 0.99... men mindre än 1. Man inser snabbt att det inte går. Det betyder att de måste vara samma tal.

ytrewq skrev:

- Detta får mig att bli konfunderad kring hur analysen/infinite series sägs lösa Zenos dikotomi-paradox! Det känns tvärtemot som att det här bara stärker hans paradox? Att man aldrig faktiskt når B utan bara kommer oändligt nära B?

Matematisk analys "löser" det ursprungliga problemet med uppställningen vilket är att inte enbart associera en oändlig serie till ett tal, utan även likställa dem. Formellt alltså. Kvalitativt går det att visa enkelt genom att fylla en kvadrat:

Zenos argument mot sina samtida atomister var att tid inte kan vara oändligt delbart. Därmed formulerade han sina tankeexperiment som motargument. Faktum är att man med matematisk analys kan bevisa att:

1+1/2+1/4+... = 2

Således har man löst paradoxen kring Achilles och sköldpaddan. Det som verkar vara fallgropen för dig och Naytte här är idén om att:

"Nja, det är ju ett gränsvärde, Achilles kan väl bara komma oändligt nära sköldpaddan?"

Summan av delsteg är ändlig. Alltså kan Achilles nå fram och passera. Det rör sig inte om att det bara gäller vid ett omöjligt att uppnå gränsvärde. Alltså ett som implicerar att antal steg (och därmed tid) skulle explodera mot oändligheten vid gränsvärdet.

Konvergens

Alltså, summan 1+1/2+1/4+1/8 + ... kommer inte oändligt nära 2, den är exakt lika med 2. Visst, betraktar man varje delsteg, på ett diskret sätt, och observerar Achilles från den synvinkeln så finns det alltid ett extra steg denne kan ta. Men om man gör det så gör man samma misstag som Zeno. Det är processen och förloppet, hela summan, som är intressant. Inte varje delsteg. Det är också så vi kan koppla det till en faktisk fysikalisk modellering. 

Hej allesammans!

Tack för era svar! Jag har funderat vidare på det här men lyckas varken greppa eller släppa det...

Det jag alltjämt har fastnat vid är "1/2+1/4+1/8...=1", där jag upplever att det inte är en likhet på samma sätt som 0.999...=1. Jag ifrågasätter inte att likhetstecknet gäller, utan det är snarare att det känns som att det är två olika slags likheter som det handlar om?

Om man benar ut uttrycket "1/2+1/4+1/8...=1", så uttalar den sig väl egentligen "bara" om att serien 1/2+1/4+1/8... har 1 som gränsvärde. Däremot så har 0.999... inte bara gränsvärdet 1 - den har värdet 1.

Vad tror ni att det är som jag snubblar på?

ytrewq skrev:

Hej allesammans!

Tack för era svar! Jag har funderat vidare på det här men lyckas varken greppa eller släppa det...

Det jag alltjämt har fastnat vid är "1/2+1/4+1/8...=1", där jag upplever att det inte är en likhet på samma sätt som 0.999...=1. Jag ifrågasätter inte att likhetstecknet gäller, utan det är snarare att det känns som att det är två olika slags likheter som det handlar om?

Om man benar ut uttrycket "1/2+1/4+1/8...=1", så uttalar den sig väl egentligen "bara" om att serien 1/2+1/4+1/8... har 1 som gränsvärde. Däremot så har 0.999... inte bara gränsvärdet 1 - den har värdet 1.

Vad tror ni att det är som jag snubblar på?

Jag tror skillnaden är att $\frac 12 + \frac 14 + \frac 18...$ är en oändlig serie av summor, medan $0.999...$ är ett decimaltal. Det kanske känns mer intuitivt att säga vad ett decimaltal är lika med. Men vi kan skriva $0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009... = 0.9 +\frac{0.9}{10} + \frac{0.9}{100}...$. Skulle man säga att serien har gränsvärdet $1$ eller är lika med $1$? 

Gränsvärdet:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{9}{10^k}$

konvergerar mot 1.

MEN talet 0.99... är lika med 1. Det är inget gränsvärde. Jag hintade åt detta tidigare men man kan visa att 0.99... = 1 med Dedekindkonstruktionen av de reella talen. Det behövs inga serier.