0/∞ och ∞/0

Oändligheten är som sagt inget tal och alla räkneoperationer blir således odefnierade när du stoppar in oändlighet som ett tal. Det du däremot kan göra är att betrakta gränsvärden. Dessutom ska man ha klart för sig att alla divisioner med noll i nämnaren är odefinierade!

Om vi betraktar gränsvärdet $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{0}{x}$ ser vi att hela uttrycket går mot noll när $x\to \infty$.

Jag har inte läst någon flervariabelanalys så ta det jag säger här nedanför med en stor nypa salt.

Om vi betraktar följande gränsvärde: $\underset{(x,y)\to (\infty , 0) }{\lim }\frac{x}{y}$ så ser vi att gränsvärdet inte existerar.

Jag håller med om att gränsvärdet för 0/x går mot 0 så att man kan nog säga att 0/$\infty$=0 medan gränsvärdet för $\infty$/0 inte är definierat. Men i "IEEE-aritmetik" (om du matar in det i ett beräkningsprogram) så blir svaret Inf, dvs $\infty$, så det är inte helt klart vad som gäller.

Oändl är inget tal som redan påpekats här ovan. Det blir inte bättre definierat av att dividera med 0. "Beräkningsprogram" är bara tillämpliga i situationer som programmet föreskriver. Här ligger AI:n fortfarande i lä.

Jag håller med, men in "IEEE-aritmetik" finns faktiskt också ett värde för sådant som inte är ett tal: NaN (Not-a-Number), t ex 0/0. Allt detta har för övrigt inget med AI att göra.

naytte skrev:

Oändligheten är som sagt inget tal och alla räkneoperationer blir således odefnierade när du stoppar in oändlighet som ett tal. Det du däremot kan göra är att betrakta gränsvärden. Dessutom ska man ha klart för sig att alla divisioner med noll i nämnaren är odefinierade!

Om vi betraktar gränsvärdet $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{0}{x}$ ser vi att hela uttrycket går mot noll när $x\to \infty$.

---

Jag har inte läst någon flervariabelanalys så ta det jag säger här nedanför med en stor nypa salt.

Om vi betraktar följande gränsvärde: $\underset{(x,y)\to (\infty , 0) }{\lim }\frac{x}{y}$ så ser vi att gränsvärdet inte existerar.

Varför existerar inte flervariabels-gränsvärdet? Kan man inte byta till polära koordinater och få $\lim_{(r,\phi) \to (\infty, \pi/2)} \frac{r cos(\phi)}{r sin(\phi)} = \lim_{(r,\phi) \to (\infty, \pi/2)} \frac{1}{\tan(\phi)} = 0$ ?

EDIT: Sorry jag såg fel, jag har skrivit det som att det var x som  går mot 0 och y mot oändligheten. Så $\phi$ ska gå mot 0, och då får man att gränsvärdet inte existerar eftersom $1/\tan(\phi)$ går mot $\pm \infty$ beroende på vilket håll man kommer från :)

Om A(x) är ett uttryck som går mot 0 när x går mot p och B(x) i stället går mot oändligheten så gär nog A(x)/B(x) mot 0.

Om $\lim_{{x \to \infty}} f(x) = 0 \text{ och} \lim_{{x \to \infty}} h(x) = \infty$ ,  så gäller det att:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{f(x)}{h(x)}$ är samma sak som:

$\lim_{{x \to \infty}} f(x) \cdot \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{h(x)}$

och produkten av två gränsvärden som går mot 0 måste säkerligen gå mot 0.