0 i nämnaren MacLaurin
Visa olikheten | sin(x)/x - 1 + x^2/6 | ≤ x^4/120 om x ≠ 0.
Jag tänker att jag ska använda Maclaurinutveckling.
f(x) = sin(x) / x
f'(x) = (cos(x)x - sin(x)) / x^2
f''(x) = (3 (x^2 - 2) sin(x) - x (x^2 - 6) cos(x))/x^4
Sen vill jag börja med Maclaurins formel där f(x) = f(0) + f'(0)x osv...
Problemet uppstår när jag ska ta f(0) då f(x) = sin(x) / x. För jag kan ju inte dela med 0.
Hur ska man göra här egentligen? Får man beräkna något slags gränsvärde för sin(x) / x och köra på det istället? Eller ska man kanske multiplicera båda sidor av olikheten med x? Det är de två idéerna jag har.
Inte helt säker här, men har du provat att endast maclaurin-utveckla sin(x)? Då får du ett polynom som du enkelt kan dividera med x
sinx/x har ett gränsvärde när x = 0, så alla metoderna borde ge samma svar.
När jag läst i min mattebok så står där i definitionen av Maclaurin-utveckling att funktionen f ska vara en funktion som är definierad på ett intervall som innehåller 0. Jag är inte så säker på att detta stämmer för f(x)=sin(x)/x. Gränsvärdet existerar absolut, men eftersom vi har x i nämnaren skulle jag inte säga att den är definierad för x=0.
I alla fall, jag står fast vid min tidigare idé om att du ska maclaurin-utveckla sin(x) istället. När jag funderat lite mer så skulle jag också rekommendera att använda Lagrange restterm
