0,99999... = 1

Sätt x=0,999...
10x blir då 9,999...
10x-x =9
9x=9
x=1

Om det hjälper kan du se 1 och 0,99999... som två olika sätt att skriva samma tal. Det mattekalle skrev är beviset på att de är samma tal.

Om du kan dividera för hand kan du se att $\frac{1}{3}$ håller på i all oändlighet - samma sak upprepas hela tiden!

Tre punkter betecknar att en serie pågår i all evighet. En tredjedel är lika med noll komma tre tre tre tre tre tre osv. i all oändlighet. För att inte behöva skriva med ord skriver man ibland . . . efteråt. 1/3 är lika med 0,333..., och ungefär lika med 0,333. Eftersom $\frac{1}{3}=0,333...$ och $\frac{1}{3}·3=1$, gäller det att $3·0,333...=0,999...=1$. 

Uttryckt annorlunda: Avrundningsfel, avrundningsresultat ... Det hela beror på hur många siffrors noggranhet vi vill ha. En avrundning kommer aldrig bli exakt, precis som Pi aldrig kan uttryckas exakt. Decimalerna fortsätter i evighet, precis som Smutstvätt & Smaragdalena har skrivit.
Därför kommer aldrig 0,99999... = 1 att vara sant. Däremot är det till 99.99999999... % sant ...

Jo, 0,999... med oändligt många decimaler är exakt lika med 1. Om inte talen hade varit lika, skulle det ha funnit något tal mellan dem. Vilket tal skulle det vara?

Smaragdalena skrev :

Jo, 0,999... med oändligt många decimaler är exakt lika med 1. Om inte talen hade varit lika, skulle det ha funnit något tal mellan dem. Vilket tal skulle det vara?

Ett tal med oändligt antal decimaler. Som att försöka halvera oändligheten. Svaret är fortfarande oändligheten.

Och det är inget avrundningsfel, för 0.3333333333... har oändligt många treor och är exakt lika med en tredjedel.

Jag får buga mig för era matematikkunskaper. Pragmatiker som jag är har jag svårt att förstå resonemanget men jag inser att ni vet bättre.
En planka som är 0.9999 ... nånting lång är i min värld inte lika lång som en planka som är 1.000 nånting lång. Så tänker jag.

Jag kan bli väldigt förvånad över hur min egen hjärna resonerar:

Att 0.33333333333... är exakt en tredjedel köper jag direkt.

Sedan är det ju självklart att tre gånger det blir 0.99999999999..., men ändå känns det konstigt att det skulle vara exakt 1.

Ett billigt argument som övertygade mig när jag läste envariabel var inlämningsuppgiften (som gav 1 bonuspoäng på tentan!)

"Visa att $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{9}{10^k}=1$"

Bubo skrev :

Jag kan bli väldigt förvånad över hur min egen hjärna resonerar:

Att 0.33333333333... är exakt en tredjedel köper jag direkt.

Sedan är det ju självklart att tre gånger det blir 0.99999999999..., men ändå känns det konstigt att det skulle vara exakt 1.

Oändliga decimalutvecklingar - ett titthål in i den kontraintuitiva delen av matematiken (ryyys) :-)

Nej, 0.3333 ... är inte exakt en tredjedel. Bara nästan.  Detta "nästan" infiltrerar multiplikationen tre gånger detta tal  (3 * 0.33333... ) så svaret blir 1 - (nästan x 3). Inte riktigt framme alltså ...

Jodå.

De tre punkterna använder jag för att visa en oändlig fortsättning.

PeterÅ skrev :

Nej, 0.3333 ... är inte exakt en tredjedel. Bara nästan.  Detta "nästan" infiltrerar multiplikationen tre gånger detta tal  (3 * 0.33333... ) så svaret blir 1 - (nästan x 3). Inte riktigt framme alltså ...

Jo, det är faktiskt så att 0,3333... är exakt en tredjedel. Detta tack vare ... som visar att decimalutvecklingen 3333 fortsätter utan slut.

Vi har sett flera resonemang kring detta i tråden.

Vi kan ta mattekalles, som även går att tillämpa här.

x = 0,3333....

10*x = 3,3333...

10x - x = 3,3333... - 0,3333...

9x = 3

x = 3/9 = 1/3

PeterÅ skrev :

Smaragdalena skrev :

Jo, 0,999... med oändligt många decimaler är exakt lika med 1. Om inte talen hade varit lika, skulle det ha funnit något tal mellan dem. Vilket tal skulle det vara?

Ett tal med oändligt antal decimaler. Som att försöka halvera oändligheten. Svaret är fortfarande oändligheten.

Hej Peter!

Som pragmatiker bör du ha problem med talet 0.1666... (som betecknar talet 1/6) och med talet 0.142857142857... (som betecknar 1/7) och med talet 0.111... (som betecknar 1/9) och med talet 0.8333... (som betecknar 1/12) och med talet 0.076923076923076923... (som betecknar 1/13).

Du bör alltså ha problem med en herrans massa tal.

Att 0.99999... är samma sak som talet 1 är inte konstigare än att ovanstående bråktal är samma sak som motsvarande oändliga decimaltal.

Albiki

Nu var ju inte min avsikt att starta någon slags "fientlig" diskussion. Jag respekterar er matteexperter och bara roar mig med små inlägg baserat på min egen hjärna. Den säger mig till exempel att 1/3 = 0.33333 ... i oändligheten ändå inte är samma sak.

PeterÅ skrev :

Nu var ju inte min avsikt att starta någon slags "fientlig" diskussion. Jag respekterar er matteexperter och bara roar mig med små inlägg baserat på min egen hjärna. Den säger mig till exempel att 1/3 = 0.33333 ... i oändligheten ändå inte är samma sak.

Hej Peter!

Jag vill inte heller inbjuda till en fientlig diskussion. Frågan om varför $0.9999... = 1$ är sant väcker av någon anledning starka känslor hos många människor. Mitt inlägg avsåg att visa att de som har problem med att $0.999... = 1$ måste ha problem med en herrans massa andra bråktal, vilket de inte verkar ha (eller så har de inte reflekterat över det).

Albiki

Där har du absolut rätt men jag ser det inte som "problem". Jag behandlar dem inte ens med en tanke ...

PeterÅ skrev :

Nu var ju inte min avsikt att starta någon slags "fientlig" diskussion. Jag respekterar er matteexperter och bara roar mig med små inlägg baserat på min egen hjärna. Den säger mig till exempel att 1/3 = 0.33333 ... i oändligheten ändå inte är samma sak.

Mothugg är tänkarens bästa vän! Kan man inte övertyga andra har man nog tänkt fel själv.

Just (10x - x)-argumentet tycker jag är rätt bra.

Och om nu 0.33333... inte skulle vara 1/3, hur stort är felet? Det tål också att tänka på.

Jag tänker inte övertyga dig. Återigen det är ingen fientlig diskussion men din attityd ... well ....
Och om nu 0.33333... inte skulle vara 1/3, hur stort är felet?
Jag har redan svarat på det: Oändligt.

Ett oändligt stort fel, det låter allvarligt!

mattekalle skrev :

Sätt x=0,999...
10x blir då 9,999...
10x-x =9
9x=9
x=1

Stämmer det att  10x-x = 9   ?

0,999...    har ju en decimal mer  än  9.999...

Som när  Y = 0,999999
då blir 10Y = 9,99999

10Y-Y = 9,99999-0,999999 = 8,999991

Så 10x-x borde bli 8,999999999999999999999999999999999..........91

larsolof skrev :

mattekalle skrev :

Sätt x=0,999...
10x blir då 9,999...
10x-x =9
9x=9
x=1

Stämmer det att  10x-x = 9   ?

0,999...    har ju en decimal mer  än  9.999...

Som när  Y = 0,999999
då blir 10Y = 9,99999

10Y-Y = 9,99999-0,999999 = 8,999991

Så 10x-x borde bli 8,999999999999999999999999999999999..........91

Ja det gör det. Och du verkar inte förstå principen av oändliga decimalföljder. Det sista du skriver är ju bara rent nonsens. Om du har att 9,999...-0,999... blir 8,999...1, hur? Du verkar tro att det här är något sorts algoritm när det inte är det. Vi har oändligt med nior så isåfall är svaret att 9,999...-0,999... är samma sak som 8,999... eftersom vi aldrig kommer fram till ettan i slutet, vi har ju oändligt många nior. Och det är ju sant, 8,999...=9,00... så det är ingen motsägelse.

Fakta kvarstår att 0,1299...=0,1300... och 0,999...=1,000... på samma sätt som 1/3=0,333...

Kul tråd! Jag är ett stort fan av (10x-x)-förklaringen [som för övrigt kan jämföras med härledningen av formeln för värdet av en geometrisk serie], men här kommer ett annat försök att argumentera för detta på ett mer konceptuellt plan:

Till att börja med ska vi kanske ge TS med flera delvis rätt i deras insisterande på att 0.999... inte är samma sak som 1. För jag menar, de är ju olika! Först och främst är ju 0.999... och 1 ihopsatta av olika siffror och symboler, och därför visuellt olika. Men de är även olika på ett djupare plan, så till vida att de beskriver två olika idéer rent konceptuellt:

• "1" syftar helt enkelt på heltalet 1, som vi har känt till och lärt oss älska sedan sedan barnsben.
• "0.999..." kan exempelvis tolkas som gränsvärdet av talföljden (0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,...).

Detta är helt klart två olika idéer. Men på samma sätt som vi kan tänka oss att säga att 4*6=8*3, trots att 4*6 (som kan tolkas som arean av rektangel som är 4 gånger 6 längdenheter) och 8*3 (som kan tolkas som arean av en rektangel som är 8 gånger 3 längdenheter) representerar två helt olika idéer, finns det inget som hindrar oss från att skriva 0.999...=1, trots att 0.999... och 1 helt uppenbart inte är samma sak, varken symboliskt eller konceptuellt.

Det man menar när man sätter ett likhetenstecken mellan två beskrivnar av tal är nämlingen inte att beskrivnarna är identiska, utan det man menar är snarare att beskrivnarna motsvarar samma position på tallinjen.

Till exempel beskriver "4*6" och "8*3" (samt "24") samma position, nämligen denna:

Så, frågan vi måste ställa oss nu är alltså om "0.999..." och "1" beskriver samma ställe på tallinjjen. Låt oss därför tänka oss en tallinje, och placera ut talet 1. Frågan är nu var 0.999... ligger.

Om 0.999... ligger på samma position som 1, så drar vi slutsatsen att vi kan skriva 0.999...=1.

Anta nu att så inte är fallet, utan att 0.999... ligger någon annanstan än vid 1. Var kan 0.999... i så fall ligga? Tja... det kan ju inte gärna ligga till höger om 1, utan i så fall måste det ligga någonstans till vänster om 1. Men var? Kanke ligger det någonstans här:

Men nej, det kan inte stämma! Det är nämligen enkelt att se att 0.99 ligger till höger om den föreslagna positionen, och rimligtvis måste 0.999... därför ligga ännu längre till höger:

Jaha, då får vi göra en ny gissning på en position till vänster om 1. Det kommer som synes behöva vara en position som är vääldigt nära 1, så det går inte att rita ut det i bilden ovan utan att det blir kladdigt. Men oavsett vad vi drar till med för gissning mindre än 1, kan jag garantera att vi kommer att misslyckas, så att vilda att det finns något annat tal på formen 0.9...9, kanske 0.999 eller 0.999999, som ligger till höger om vår gisssning, och som 0.999... garanterat måste ligga till höger om.

Så nej, vi måste nog till slut erkänna att 0.999... varken ligger till höger eller vänster om 1, utan precis på 1:ans position. Dvs. 0.999...=1.

Fler exempel på saker vi sätter likhetstecken mellan:

• 1 = 1 [samma symbol, samma koncpet och därför samma position på tallinjen]
• 4 = 4 = fyra = IV  [symbolerna är olika, men de beskriver konceptuellt på samma sak och motsvarar därmed även samma position på tallinjen]
• (Roten ur 100) = 10 [beskriver konceptuellt olika saker, men motsvarar samma position på tallinjen]
• (Arean av en cirkel med radien 1) = (Omkretsen på en cirkel med radien 0.5
  [beskriver konceptuellt två olika saker, men motsvarar samma position på tallinjen]

En generell konsekvens av den här typen av resonemang är att "vara oändligt nära något" i praktiken betyder att man är på precis samma position som detta något -- och ett "oändligt litet fel" är det samma som inget fel alls.