0.090909... i bråkform

Välkommen till Pluggakuten! Det är en bra början! Om vi sätter $x=0,090909...$, vad blir då $100x$? :)

Tack så mycket

100x =9.0909090...

100x - x = 9.

Och hur löser man den efteråt? 

Utmärkt! 

Förenkla vänsterledet. Vad har du kvar för ekvation? Vilken lösning har den? :)

Tack. 

Jag får att x= 9. 090909../99

Nej, det är inte rätt.

Titta igen, och se så snyggt det blir.

Oops, nu fick jag till den, tack. 

Smutstvätt skrev:

Välkommen till Pluggakuten! Det är en bra början! Om vi sätter $x=0,090909...$, vad blir då $100x$? :)

Kan du/någon förklara varför man gjorde på detta sätt för att lösa denna fråga? 

Det är lite av ett "trick" som är ganska svårt att komma på själv. Men har man sett metoden en gång så ingår den sen i "verktygslådan".

Aha, jag förstår. Tack så mycket alla. 

PluggPluggPlugg skrev:

Tack så mycket

100x =9.0909090...

100x - x = 9.

Och hur löser man den efteråt? 

Såhär tänkte jag:

$100x-x=9$

$x(100-1)=9$

$x(99)=9$

$x = 9 \cdot \frac{1}{99} \implies \frac{9}{99} \cdot (99) = 9$

Sen vet vi att $\frac{9}{99}$ kan förenklas till $\frac{1}{11}$, så det borde bli vad 0.90909… blir i bråkform.

Dani163 skrev:

Såhär tänkte jag:

$100x-x=9$

$x(100-1)=9$

$x(99)=9$

$x = 9 \cdot \frac{1}{99} \implies \frac{9}{99} \cdot (99) = 9$

 

Sen vet vi att $\frac{9}{99}$ kan förenklas till $\frac{1}{11}$, så det borde bli vad 0.90909… blir i bråkform.

Ja det stämmer (förutom att du råkade skriva 0,90909... istället för 0,090909... i sista meningen).

Så snart som man har en evigt upprepande slinga i decimalutvecklingen av ett bråk så kan man få fram ett bråk som beskriver just det talet genom att ta den evigt upprepande slingan och dividera på en lika lång slinga av 9:or.

Så

$$\begin{gathered} 0,112112112... =\frac{112}{999} \\ 0,333333333...=\frac{3}{9} \\ 0,142857142857...=\frac{142857}{999999} \end{gathered}$$

för att ta några exempel.

George Bettio skrev:

Nej det stämmer inte.

0,090909 = 90909/1 000 000.

Men det var inte det frågan gällde utan istället talet 0,090909... där de tre punkterna efter sista decimaler indikerar att det ör oändligt många decimaler som upprepar sig på samma sätt.