Hur tolkas icke-reella talens olikhet Z < W?

Studenten06 skrev:

Gällande a)

I bokens facit står det att utrycket saknar mening. Men betyder det inte att W är större än Z?

Hur definierar du större och mindre för komplexa tal?

Smaragdalena skrev:

Studenten06 skrev:

Gällande a)

I bokens facit står det att utrycket saknar mening. Men betyder det inte att W är större än Z?

Hur definierar du större och mindre för komplexa tal?

Vi vet ju värdet på reella talen i komplexa talplanet och i har ju värdet roten av minus 1?

Det finns tyvärr ingen ordningsrelation definierad över $\mathbb{C}$ ("$<$" bland de reella talen). Det saknas alltså ett sätt att jämföra "storlek" mellan komplexa tal på samma sätt som man kan göra med rent reella tal. Det är just därför man har definierat en norm ("absolutbelopp"):

 $\displaystyle \left\| a+bi \right\| =\left\| (a,b) \right\|=\sqrt{a^{2}+b^2}$

Detta är ett sätt att jämföra "storlek" med hjälp av vektorernas längd istället. Man gör en övergång från den komplexa världen till den reella, just för att kunna jämföra storlek! :)

naytte skrev:

Det finns tyvärr ingen ordningsrelation definierad över $\mathbb{C}$ ("" bland de reella talen). Det saknas alltså ett sätt att jämföra "storlek" mellan komplexa tal på samma sätt som man kan göra med rent reella tal. Det är just därför man har definierat en norm ("absolutbelopp"):

 $\displaystyle \left\| a+bi \right\| =\left\| (a,b) \right\|=\sqrt{a^{2}+b^2}$

Detta är ett sätt att jämföra "storlek" med hjälp av vektorernas längd istället. Man gör en övergång från den komplexa världen till den reella, just för att kunna jämföra storlek! :)

Förstår nu. Tack så mycket.

Det verkar också finnas en smärre missuppfattning här som vi kan ta itu med också. 

Det är en utbredd feltolkning att den imaginära enheten $i$ är samma sak som $\sqrt{-1}$. Så är det tyvärr inte. $i$ är ett algebraiskt objekt med egenskapen att $i^2 = -1$, men det är inte ekvivalent med att $i = \sqrt{-1}$, bara så att det är tydligt. Rotfunktionen $\sqrt{}$ är bara definierad för positiva tal!

Sedan att det inte råkar spela någon större roll att man tänker så är en annan femma. Jag tror till och med att resultaten blir identiska om man definierar $i := \sqrt{-1}$. Då har man implicit utvidgat rotfunktionen till negativa tal också, men man måste på något sätt kunna motivera det.

Så som man brukar göra i komplex analys är att man definierar:

$\sqrt{z} := e^{1/2\log z}$, där $\log$ är en komplexvärd logaritm. Men som du inser måste vi veta vad ett komplext tal är redan för att lyckas definiera roten ur negativa tal på det gängse sättet. 

Hoppas det var förståeligt! :)